结论：村里未经同意砍断私人树木，这一行为是否可以立案，主要取决于砍伐的数量、树木的权属以及是否取得了采伐许可证，同时，该行为还可能涉及侵犯财产权的问题。以下从多个角度进行详细分析：
一、砍伐树木的法律规定
采伐许可证要求：
- 根据《森林法》的规定，采伐林木必须申请采伐许可证，并按许可证的规定进行采伐。这一规定适用于除农村居民采伐自留地和房前屋后个人所有的零星林木以外的所有情况。因此，如果村里砍伐的是您私人所有的树木，且未取得采伐许可证，那么这一行为就是违法的。
违法行为与处罚：
- 如果没有取得相关部门核发的采伐许可证就进行砍伐，即使只砍一棵树，也属于违法行为。林业主管部门有权责令补种盗伐株数十倍的树木，没收盗伐的林木或者变卖所得，并处盗伐林木价值三倍以上十倍以下的罚款。如果砍伐数量较大，或者涉及到了国家重点保护的树种，还可能构成犯罪，需要承担刑事责任。
二、涉嫌刑事犯罪的情况
盗伐林木：
- 如果村里未经您同意，擅自砍伐您的树木，且数量达到一定标准（如盗伐二至五立方米以上，或盗伐幼树一百至二百株以上），那么这一行为就涉嫌盗伐林木罪，应予立案追诉。
滥伐林木：
- 即使村里取得了采伐许可证，但如果未按照许可证的规定进行砍伐，或者砍伐数量超过了许可证规定的数量，也可能构成滥伐林木罪。滥伐森林或其他林木，如果数量达到一定标准（如滥伐十至二十立方米以上，或滥伐幼树五百至一千株以上），也应予立案追诉。
地区差异：
- 不同地区的经济发展水平和森林资源状况有所差异，因此各省级高院可以结合本地实际情况，在上述规定的数量幅度内，确定本地区执行的具体数量标准，并报最高人民法院备案。这意味着，在某些地区，可能砍伐数量较少就构成犯罪，而在其他地区则可能不构成。
三、侵犯财产权的问题
- 除了可能构成盗伐或滥伐林木罪外，村里未经您同意砍伐您的树木，还侵犯了您的财产权。您有权要求村里赔偿因此造成的损失，包括树木的价值、因砍伐导致的其他损失等。
四、建议与提醒
收集证据：
- 如果您发现村里未经您同意砍伐了您的树木，首先应当收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，以证明砍伐行为的存在以及砍伐的树木属于您所有。
报警或起诉：
- 根据砍伐的数量和情节严重程度，您可以选择向公安机关报警或向人民法院提起诉讼。如果砍伐行为涉嫌犯罪，公安机关将依法进行立案侦查；如果砍伐行为不构成犯罪，但侵犯了您的财产权，您可以通过民事诉讼要求村里赔偿损失。
咨询专业律师：
- 在处理此类纠纷时，建议您咨询专业律师（即向我咨询），以了解具体的法律程序和维权策略。律师可以根据您的具体情况，为您提供个性化的法律建议和帮助。
总结：村里未经同意砍断私人树木，这一行为是否可以立案，取决于多个因素，包括砍伐的数量、树木的权属、是否取得了采伐许可证以及是否侵犯了您的财产权等。如果您遇到此类问题，建议及时收集证据并咨询专业律师（向我提问即可），以维护自己的合法权益。