结论：游戏厅合伙人没有签订书面合同，并不直接构成违法，但可能引发一系列法律风险和纠纷。以下从多个角度进行详细分析：

1. 合同形式与法律效力：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同可以是书面形式、口头形式或者其他形式。这意味着，即使没有书面合同，只要双方存在真实的合意（即一致的意思表示），并且不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，口头合同也是具有法律效力的。
   • 然而，对于涉及较大金额、复杂权利义务关系或者需要长期履行的合同，如合伙经营合同，书面形式更为推荐。因为书面合同能够更清晰地记录双方的权利义务，减少争议和误解的可能性。

2. 合伙经营的法律风险：

   • 在没有书面合同的情况下，如果合伙人之间发生纠纷，如利润分配、亏损承担、管理权分配等，将难以通过合同条款来明确各自的责任和义务。这可能导致纠纷难以解决，甚至需要通过法律途径来裁决。
   • 此外，没有书面合同也可能影响合伙企业的登记和备案。根据相关法律法规，合伙企业可能需要向工商行政管理部门提交合伙协议等文件进行登记。如果没有书面合同，可能无法完成这些手续，从而影响合伙企业的合法经营。

3. 建议与措施：

   • 签订书面合同：为了降低法律风险，建议游戏厅的合伙人尽快签订书面合伙协议。协议中应明确双方的权利义务、利润分配方式、亏损承担方式、管理权分配等关键条款。
   • 咨询专业律师：在签订合同前，可以咨询专业律师的意见，确保合同条款的合法性和有效性。律师可以根据具体情况提供针对性的建议，帮助合伙人制定合理的合同条款。
   • 保留相关证据：即使没有书面合同，合伙人也应保留与合伙经营相关的所有证据，如转账记录、聊天记录、会议纪要等。这些证据在发生纠纷时可能起到关键作用。

4. 可能的法律后果：

   • 如果合伙人之间发生纠纷且无法通过协商解决，可能需要通过诉讼或仲裁等法律途径来裁决。在没有书面合同的情况下，法院或仲裁机构将根据双方的实际行为、交易习惯、行业惯例等因素来推断双方的真实意思表示，并据此作出裁决。这可能导致裁决结果的不确定性增加，因为不同的人可能对同一事实有不同的理解和解释。

总结与启示：虽然游戏厅合伙人没有签订书面合同并不直接构成违法，但为了避免潜在的法律风险和纠纷，建议尽快签订书面合伙协议。同时，在合伙经营过程中，应保留好所有相关证据，以便在发生纠纷时能够维护自己的合法权益。如果你有任何关于合伙经营或合同纠纷的法律问题，可以直接向我咨询。