结论前置：在执行过程中，如果一方不履行执行和解协议，另一方通常不能直接另行起诉要求履行和解协议本身，但可以选择申请恢复执行原生效法律文书或依据和解协议中的特定条款（如违约责任等）向法院提起诉讼，具体取决于协议的内容和实际情况。
法律依据与详细解析
法律依据：
- 根据《最高人民法院关于执行和解若干问题的规定》第九条，被执行人一方不履行执行和解协议的，申请执行人可以申请恢复执行原生效法律文书，也可以就履行执行和解协议向执行法院提起诉讼（但此处的“就履行执行和解协议提起诉讼”通常指的是基于和解协议中的特定条款，如违约责任等，而非直接要求履行和解协议的全部内容）。
执行和解协议的性质与处理方式：
- 执行和解协议的性质：执行和解协议是双方在执行过程中自愿达成的协议，它本身并不具有独立于原生效法律文书的强制执行力，而是基于双方的自愿和诚信原则来履行。因此，当一方不履行时，另一方不能直接依据和解协议向法院申请强制执行。
- 处理方式一：申请恢复执行原生效法律文书：
- 当一方不履行执行和解协议时，申请执行人有权向法院申请恢复执行原生效的法律文书（如判决书、裁定书等）。这是最直接且有效的方式，可以确保申请执行人的权益得到尽快实现。
- 恢复执行原生效法律文书后，法院将按照原判决或裁定的内容继续执行，包括但不限于查封、扣押、拍卖财产等措施。
- 处理方式二：就执行和解协议中的特定条款提起诉讼：
- 如果执行和解协议中明确约定了违约责任或其他相关条款，并且这些条款是合法有效的，申请执行人可以依据这些条款向法院提起诉讼，要求对方承担违约责任。
- 例如，如果和解协议中约定了“若被执行人未按时支付款项，则需支付额外违约金”，那么当被执行人违约时，申请执行人可以就违约金的支付向法院提起诉讼。
- 但需要注意的是，一旦选择就执行和解协议提起诉讼，申请执行人通常将放弃恢复执行原生效法律文书的权利（除非法院另有裁定或双方另有约定）。
举例说明：
- 假设甲与乙存在债务纠纷，法院判决乙应向甲偿还100万元。在执行过程中，双方达成执行和解协议，约定乙分三期偿还甲120万元（其中20万元为利息或额外补偿），并附加若乙按时还款，甲则放弃剩余利息的条件。然而，乙仅支付了第一期款项后违约。
- 在此情况下，甲有两种选择：一是向法院申请恢复执行原判决，要求乙偿还100万元及相应利息（但需注意，如果原判决中未明确利息，则可能无法获得支持）；二是根据执行和解协议中的约定，向法院提起诉讼，要求乙支付剩余的款项（包括可能的违约金，如果协议中有约定）。
总结与建议
在处理执行和解协议不履行的问题时，建议申请执行人先仔细研究协议的具体内容，了解自己的权利和义务。然后，根据实际情况和需求，选择合适的法律途径来维护自己的合法权益。如果协议中有明确、具体且合法的违约责任条款，可以考虑就这些条款向法院提起诉讼；否则，更稳妥的方式是申请恢复执行原生效法律文书。同时，在处理此类问题时，也可以随时向我咨询以获取更具体的建议和帮助。