当客户带着在商场摔倒受伤的小孩前来要求赔偿时，作为商场方，我们需要依据相关法律法规，结合实际情况，进行妥善处理。以下是我为您提供的详细解答和处理建议：
一、法律责任判定
商场的安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，商场作为经营场所，对顾客（包括小孩）负有安全保障义务。若商场未尽此义务，如地面湿滑未设警示、设施损坏未及时维修等，导致小孩受伤，商场应承担侵权责任。
责任划分：
- 商场全责：若商场存在明显过错，且该过错是导致小孩受伤的直接原因，商场应承担全部赔偿责任。
- 商场部分责任：若小孩受伤是自身原因（如奔跑打闹）和商场过错（如地面有障碍物未清理）共同导致，商场应承担部分赔偿责任。
- 商场无责：若商场已尽安全保障义务，小孩受伤由第三人行为或自身故意、重大过失造成，商场不承担赔偿责任。但若第三人无法承担责任，商场可能需承担相应补充责任。
第三人责任：
- 若小孩受伤由第三人行为造成，由第三人承担侵权责任。商场若未尽安全保障义务，需承担相应的补充责任，并可向第三人追偿。
二、赔偿范围
赔偿范围通常包括以下几项，具体根据小孩受伤情况和实际损失确定：
- 医疗费：包括挂号费、检查费、治疗费、药费等，以医疗机构出具的正规发票和病历为依据。
- 护理费：根据护理人员收入状况或当地护工劳务报酬标准计算，护理人数原则上为一人。
- 交通费：按实际发生的费用计算，以正式交通票据为凭，包括就医或转院治疗产生的交通费用。
- 住院伙食补助费：按国家机关一般工作人员出差伙食补助标准计算，若小孩住院治疗。
- 营养费：根据伤情和医疗机构意见适当赔偿，可按当地居民平均生活费标准的百分之四十至六十计算。
- 残疾赔偿金：若小孩因伤致残，按伤残等级和当地居民收入水平计算二十年赔偿金。
- 精神损害抚慰金：若小孩受伤造成严重精神损害，可请求精神损害抚慰金。
- 其他费用：如住宿费（外地就医且符合特定条件）、因误工减少的收入（如家长因照顾小孩而误工）等，需合理且必要。
三、处理流程与建议
及时救助与固定证据：
- 商场应第一时间对受伤小孩进行救助，并安排工作人员陪同就医。
- 同时，固定现场证据，如拍照、录像，保存相关票据和病历资料。
协商解决：
- 商场应主动与家长进行沟通，了解小孩受伤情况和家长诉求。
- 在明确责任划分和赔偿范围的基础上，与家长进行协商，提出合理的赔偿方案。
第三方调解：
- 若协商不成，可请求消费者协会、人民调解委员会等第三方机构进行调解。
- 调解过程中，保持客观公正，提供充分证据支持自己的主张。
诉讼解决：
- 若调解无果，家长可向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。
- 商场应积极应诉，提供充分证据证明自己的过错程度及已尽的安全保障义务。
四、预防措施与建议
加强安全管理：
- 定期对商场设施进行检查和维护，确保地面平整、设施完好。
- 在易滑倒、易碰撞等区域设置警示标志和防护措施。
提高员工安全意识：
- 对员工进行安全培训，提高其对顾客安全的重视程度和应急处理能力。
- 鼓励员工主动发现并报告安全隐患，及时采取措施消除。
完善应急预案：
- 制定完善的应急预案，包括顾客受伤、火灾、地震等突发事件的应对措施。
- 定期组织演练，确保员工熟悉应急预案流程，能够迅速有效地应对突发事件。
综上所述，当客户带着在商场摔倒受伤的小孩前来要求赔偿时，商场应依据相关法律法规和实际情况进行妥善处理。通过及时救助、固定证据、协商解决、第三方调解或诉讼解决等流程，确保赔偿请求的合理性和合法性。同时，加强安全管理、提高员工安全意识和完善应急预案等措施，有助于预防类似事件的发生，保障顾客和商场的共同利益。