结论：在检察院听证会上嫌疑人当场自杀，家属一般不可以直接起诉检察院，但在特定情况下，检察院可能需承担相应责任。以下从不同角度进行分析：

一、检察院在听证会中的职责与义务

检察院在听证会中主要承担的是审查案件、听取各方意见、保障嫌疑人合法权益等职责。听证会本身是一个公开、透明的程序，旨在确保案件的公正处理。检察院在听证会中应当遵循法定程序，保障嫌疑人的各项权利，包括生命权、健康权等。然而，检察院并不对嫌疑人的自杀行为承担直接的因果关系责任，除非检察院在听证会中存在明显的过错或违法行为，且该过错或违法行为与嫌疑人的自杀行为之间存在直接的因果关系。

二、家属起诉检察院的法律依据与难点

1. 法律依据：

   • 家属若认为检察院在听证会中存在过错或违法行为，导致嫌疑人自杀，可以依据《中华人民共和国国家赔偿法》等相关法律规定，向检察院提出国家赔偿申请。但需要注意的是，国家赔偿的适用条件较为严格，通常要求检察院的违法行为与损害结果之间存在直接的因果关系。
   • 在某些极端情况下，如果检察院的工作人员在听证会中存在故意或重大过失，导致嫌疑人自杀，家属还可以考虑通过刑事诉讼途径追究相关人员的刑事责任。但这需要充分的证据支持，且刑事诉讼的启动和进行都受到严格的法律程序限制。

2. 难点分析：

   • 因果关系证明：家属需要证明检察院的过错或违法行为与嫌疑人的自杀行为之间存在直接的因果关系。这通常需要专业的法律知识和证据收集能力，且在实际操作中难度较大。
   • 证据收集：家属需要收集充分的证据来支持其主张，包括听证会的记录、相关人员的证言、嫌疑人的心理状态等。这些证据的收集和整理需要专业的法律指导和协助。
   • 法律程序限制：即使家属认为检察院存在过错或违法行为，也需要遵循法定的程序来维护自己的权益。这包括提出国家赔偿申请、参与刑事诉讼等，这些程序都受到严格的法律限制和时效要求。

三、家属可以采取的其他措施

1. 申请国家赔偿：

   • 如前所述，家属可以依据《中华人民共和国国家赔偿法》等相关法律规定，向检察院提出国家赔偿申请。在申请过程中，家属需要提供充分的证据来证明检察院的过错或违法行为与嫌疑人的自杀行为之间存在直接的因果关系。

2. 寻求法律援助：

   • 家属可以寻求专业的法律援助，包括咨询律师、申请法律援助等。专业的律师可以为家属提供法律指导、协助收集证据、参与诉讼等，帮助家属更好地维护自己的权益。

3. 关注嫌疑人心理健康：

   • 虽然嫌疑人自杀的行为已经发生，但家属仍然可以关注嫌疑人的心理健康问题，了解其自杀的原因和背景。这有助于家属更好地理解案件情况，也为后续的法律程序提供有益的参考。

建议：家属在面对此类情况时，应保持冷静和理性，及时寻求专业的法律援助。通过合法的途径来维护自己的权益，避免采取过激或违法的行为。同时，家属也应关注嫌疑人的心理健康问题，为其提供必要的支持和关爱。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。