面对行政机关对诉求人的履职申请书不答复、拖着推诿的情况，你可以通过以下途径来行使自己的权利，维护合法权益：
申请行政复议：
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，公民、法人或者其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益的，可以依法向行政复议机关提出行政复议申请。行政机关不履行法定职责的行为，也属于行政复议的受理范围。
- 操作建议：你可以准备一份详细的行政复议申请书，阐述行政机关未履行法定职责的事实、理由及依据，并附上相关证据材料，如履职申请书、邮寄凭证等，向有管辖权的行政复议机关（通常是上一级行政机关或本级人民政府）提交申请。
提起行政诉讼：
- 法律依据：依据《中华人民共和国行政诉讼法》，公民、法人或者其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益，有权依照本法向人民法院提起诉讼。行政机关不履行或者拖延履行法定职责的，公民、法人或者其他组织可以依法提起行政诉讼。
- 操作建议：若行政复议未能解决问题，或者你选择直接通过诉讼途径解决，你可以准备一份起诉状，明确诉讼请求、事实与理由，并附上相关证据材料，向有管辖权的人民法院（通常是行政机关所在地的基层人民法院）提起行政诉讼。
向上级行政机关或监察机关投诉：
- 操作建议：除了法律途径外，你还可以考虑向上级行政机关或监察机关投诉行政机关的不作为行为。这通常可以通过书面投诉信、电子邮件或在线投诉平台等方式进行。在投诉时，应详细描述行政机关未履行法定职责的情况，并提供相关证据材料。
寻求媒体或社会监督：
- 操作建议：在合法合规的前提下，你也可以考虑通过媒体曝光或社会监督的方式来推动问题的解决。这可以包括向新闻媒体提供线索、在社交媒体上发声或参与相关公益活动等。但需要注意的是，这种方式应谨慎使用，避免侵犯他人权益或违反法律法规。
在行使权利的过程中，你需要注意以下几点：
- 保留证据：确保你保存了所有与履职申请相关的证据材料，如申请书、邮寄凭证、回复记录等。这些证据将在后续的法律程序中起到关键作用。
- 遵守法律程序：在申请行政复议、提起行政诉讼或投诉时，务必遵守相关的法律程序和规定。这包括提交材料的格式、期限、管辖机关等。
- 保持理性沟通：在与行政机关沟通的过程中，尽量保持理性、客观的态度，避免情绪化的表达或行为。这有助于更好地解决问题，维护自己的合法权益。
最后，我想强调的是，面对行政机关的不作为行为，你有权通过合法途径来维护自己的权益。如果你在行使权利的过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供专业的法律帮助。