当遇到员工生病但未履行请假手续的情况时，企业应当采取一种既合法又人性化的处理方式。以下是我为您详细梳理的处理步骤和建议：

一、核实情况

首先，企业应当尽快与员工取得联系，核实其生病的情况以及未能及时请假的原因。这可以通过电话、短信或电子邮件等方式进行。在核实过程中，企业应表现出对员工的关心和理解，避免给员工带来额外的压力。

二、审查规章制度

接下来，企业需要审查自身的规章制度，特别是关于请假流程和旷工认定的部分。这有助于企业明确在员工生病未请假的情况下，应如何依据规定进行处理。同时，企业也应确保规章制度的内容合法、合理，并符合劳动法的相关规定。

三、考虑特殊情况

在处理此类问题时，企业应充分考虑员工的特殊情况。例如，员工可能因病情紧急而无法及时履行请假手续，或者因医疗条件限制而无法提供书面请假申请。在这种情况下，企业应表现出一定的灵活性和人文关怀，避免机械地套用规章制度。

四、沟通与协商

企业应与员工进行积极的沟通和协商，了解其病情恢复情况以及后续的工作安排。在沟通过程中，企业可以告知员工其未请假的行为可能带来的后果，并引导其按照规章制度补办请假手续。同时，企业也可以根据员工的实际情况，提供必要的帮助和支持，如调整工作安排、提供医疗证明等。

五、依法处理

如果员工确实存在未请假且无正当理由的情况，企业应依据规章制度进行相应的处理。但在此过程中，企业必须确保处理方式合法、合理，并符合劳动法的相关规定。例如，企业不能仅凭员工未履行书面请假手续就认定其自动离职或解除劳动合同，而应充分考虑员工的实际情况和特殊需求。

六、完善规章制度

为了避免类似情况的再次发生，企业应不断完善和优化请假流程制度。例如，可以设立紧急请假通道或简化请假手续，以便员工在遇到紧急情况时能够及时请假。同时，企业也可以加强对员工的培训和教育，提高其对请假流程的认识和重视程度。

综上所述，当遇到员工生病但未履行请假手续的情况时，企业应采取核实情况、审查规章制度、考虑特殊情况、沟通与协商、依法处理以及完善规章制度等步骤进行处理。这样既能保障企业的正常运营秩序，又能体现对员工的人文关怀和合法权益的保障。