结论前置：在劳动仲裁中，仲裁委确实有权根据具体案件情况裁决用人单位支付经济补偿金或赔偿金，这主要取决于用人单位是否存在违反劳动法等相关法律法规的行为，以及劳动者的实际损失等因素。
一、经济补偿金的适用情形与裁决
经济补偿金是在特定情形下，用人单位需向劳动者支付的一种补偿。这些情形主要包括：
用人单位解除劳动合同：如因经营困难进行经济性裁员，或因客观情况发生重大变化致使劳动合同无法履行，且经与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议而解除劳动合同。
劳动者解除劳动合同：当用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费、规章制度违反法律、法规规定损害劳动者权益等情形时，劳动者有权解除劳动合同，并要求用人单位支付经济补偿金。
裁决依据：仲裁委在审理案件时，会依据双方提交的证据、庭审调查情况以及相关法律法规，判断案件是否符合支付经济补偿金的法定情形。如果劳动者提供了充分证据，且仲裁委核实后认为符合支付条件，将依法裁决用人单位支付相应的经济补偿金。
二、赔偿金的适用情形与裁决
赔偿金则是在用人单位存在严重违反劳动法等相关法律法规的行为时，劳动仲裁委员会可以裁决用人单位支付的。这些行为包括但不限于无故拖欠工资、非法解雇员工等。
裁决标准：赔偿金的数额通常会综合考虑劳动者的实际损失、用人单位的过错程度、劳动关系的存续时间以及其他相关法律规定和证据情况来确定。具体的裁决内容和金额，由劳动仲裁委员会依据相关证据和法律规定作出公正的裁决。
三、实际操作中的综合判断与建议
在实际操作中，劳动仲裁委员会会根据案件的具体情况，包括双方的证据、庭审调查以及相关法律法规的适用，来综合判断是应支付经济补偿金还是赔偿金，或者两者兼而有之。
建议：
收集证据：对于劳动者而言，在提起劳动仲裁前，应尽可能收集并整理好相关证据，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以支持自己的主张。
了解法律：了解清楚经济补偿金和赔偿金的适用条件和裁决标准，有助于劳动者更好地维护自己的合法权益。
及时咨询：如果你在劳动仲裁过程中遇到任何问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。
四、举例说明
假设某员工因用人单位未及时足额支付劳动报酬而提出解除劳动合同，并申请劳动仲裁要求支付经济补偿金。如果仲裁委核实后认为该员工的情况符合支付经济补偿金的法定情形，且该员工提供了充分的证据支持其主张，那么仲裁委将依法裁决用人单位支付相应的经济补偿金。
再比如，如果某员工被用人单位非法解雇，且该员工能够提供充分的证据证明用人单位的违法行为，那么仲裁委在裁决时可能会同时裁决用人单位支付赔偿金和经济补偿金（如果符合经济补偿金的支付条件）。
总之，劳动仲裁后能否让对方支付赔偿金或经济补偿金，取决于具体的案件情况和相关法律法规的适用。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。