结论：曾担任过仲裁申请人单位法律顾问的人员，在一般情况下不可以担任该申请人案件的仲裁员，这主要基于仲裁员的公正性和独立性要求。
分析说明：
仲裁员的公正性和独立性要求：
- 仲裁员在仲裁过程中必须保持公正和独立，这是仲裁制度的基本原则。仲裁员应当与案件当事人无利害关系，以确保其能够客观、公正地审理案件。
- 如果仲裁员曾担任过仲裁申请人的单位法律顾问，那么他们之间可能存在某种程度的利益关联或信任关系，这可能影响仲裁员的公正性和独立性。
回避制度：
- 在仲裁程序中，存在回避制度，即如果仲裁员与案件当事人存在利害关系或其他可能影响公正审理的关系，当事人有权申请仲裁员回避。
- 曾担任过仲裁申请人单位法律顾问的人员，很可能被视为与案件存在利害关系，因此应当回避，不得担任该案件的仲裁员。
实际操作中的考量：
- 即使法律没有明确规定曾担任过法律顾问的人员不得担任仲裁员，但在实际操作中，为了维护仲裁的公正性和公信力，仲裁机构通常会避免选择与案件当事人有密切关系的人员担任仲裁员。
- 此外，如果仲裁员在仲裁过程中被发现与案件当事人存在利害关系，这可能导致仲裁裁决被撤销或不予执行，从而损害仲裁的效率和权威性。
特殊情况说明：
- 在某些特殊情况下，如果曾担任过仲裁申请人单位法律顾问的人员能够证明自己与案件无利害关系，且仲裁机构也认为其担任仲裁员不会影响案件的公正审理，那么该人员可能有机会担任仲裁员。但这种情况非常罕见，且需要严格的证明和审查程序。
建议与行动：
- 如果您是仲裁申请人，且担心曾担任过您单位法律顾问的人员可能担任仲裁员会影响案件的公正审理，您可以在仲裁程序开始前或进行中提出回避申请。
- 如果您是仲裁机构或仲裁员，应当严格遵守仲裁员的公正性和独立性要求，避免选择与案件当事人有密切关系的人员担任仲裁员，以确保仲裁的公正性和公信力。
后续思考：
- 在选择仲裁员时，仲裁机构应当建立严格的筛选和审查机制，确保仲裁员与案件当事人无利害关系，维护仲裁的公正性和独立性。
- 当事人也应当积极行使自己的权利，对可能影响案件公正审理的仲裁员提出回避申请，以保障自己的合法权益。
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