结论前置：签了房屋认购书但未签正式购买合同，已交20000元定金和120000元首付的情况下，是否可以要求退款，需根据具体情况及双方约定来判断。以下从多个角度进行分析：
可以退款的情况
国家明确规定与双方协商一致：
- 根据国家相关规定，只要未签订正式的商品房买卖合同，买主通常有权向开发商要求退回所有首付金额，但这一原则并非绝对，还需结合双方的具体约定和实际情况。
- 双方可通过协商一致解除认购书，并由开发商按协商内容退还首付款。这种方式最为直接且高效，建议首先尝试与开发商友好沟通。
开发商存在过错：
- 如果开发商存在欺诈、胁迫等违法行为，或不具备售房资格（如缺少《商品房预售许可证》等必要证件），购房者不仅有权要求退还首付，还可主张相应赔偿。
- 开发商未按认购书约定的时间、地点与购房者签订购房合同，或提供的合同条款与认购书主要内容有重大差异，导致购房者无法接受而未能签订合同，购房者同样有权要求退还首付。
不可归责于双方的原因：
- 如因不可抗力（自然灾害、政府政策突然调整等）导致无法按认购书约定签订购房合同，双方均无过错，开发商应退还购房者已支付的首付款。
可能无法退款的情况
认购书有特别约定：
- 如果认购书中明确约定了首付不可退，或约定了退款条件但条件未达成，购房者可能无法直接要求退款。因此，在签订认购书时，务必仔细阅读条款，了解退款政策。
购房者自身原因：
- 购房者因自身原因（如改变购买意愿、资金问题等）导致未能按时签订购房合同，开发商通常有权不退还首付。因为认购书具有法律效力，购房者违约需承担相应责任。
退款途径与法律依据
- 协商退款：首先尝试与开发商进行友好协商，看是否能就退款事宜达成一致意见。这是最为推荐的方式，可以节省时间和成本。
- 法律途径：若协商不成，购房者可通过法律途径维护自己的权益。具体可向房地产主管部门投诉或向人民法院提起诉讼，要求开发商退还首付款。在诉讼过程中，购房者需提供相关证据（如认购书、付款凭证、沟通记录等）来支持自己的主张。
- 法律依据：
- 《最高人民法院关于审理商品房买卖合同纠纷案件适用法律若干问题的解释》第四条明确规定，出卖人通过认购、订购、预订等方式向买受人收受定金作为订立商品房买卖合同担保的，如果因当事人一方原因未能订立商品房买卖合同，应当按照法律关于定金的规定处理；因不可归责于当事人双方的事由，导致商品房买卖合同未能订立的，出卖人应当将定金返还买受人。虽然该条款主要提及定金，但首付的退款原则也与之类似，需根据具体情况判断。
- 《中华人民共和国民法典》相关规定强调了合同的法律约束力及解除合同的条件，为购房者提供了法律保障。
建议：在购房过程中，务必仔细阅读相关文件，了解自身权益，并在必要时咨询专业人士（如我）的意见，以确保自己的合法权益得到妥善保护。如果遇到退款问题，首先尝试与开发商协商，若协商不成，再考虑通过法律途径解决。