在工伤申请决定书下来之后，关于工伤鉴定的申请，这主要取决于具体的申请阶段和申请主体。首先，需要明确的是，工伤认定和工伤鉴定（通常指的是劳动能力鉴定）是两个不同的环节。

针对您提出的问题，我们聚焦在工伤鉴定（劳动能力鉴定）的申请上：

1. 工伤认定后的流程：

   • 一旦工伤认定决定书下来，确认了职工的伤害属于工伤范畴，接下来就可以进行劳动能力鉴定了。

2. 劳动能力鉴定的申请主体：

   • 用人单位：在工伤认定后，用人单位有责任和义务为受伤职工申请劳动能力鉴定。这是因为工伤保险遵循雇主责任原则，用人单位需要确保受伤职工得到适当的医疗和康复，以及相应的工伤待遇。
   • 工伤职工或其近亲属：如果用人单位没有按时为工伤职工申请劳动能力鉴定，工伤职工或其近亲属（如配偶、父母、成年子女等）也有权在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，直接向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请。

3. 申请流程：

   • 无论是用人单位还是工伤职工或其近亲属申请，都需要准备相关的材料，如工伤认定决定书、医疗证明、身份证等，并按照当地劳动能力鉴定委员会的要求进行申请。
   • 劳动能力鉴定委员会在收到申请后，会安排专家对工伤职工的劳动能力进行评估，并出具劳动能力鉴定结论。

4. 注意事项：

   • 工伤职工应积极配合劳动能力鉴定的申请和评估工作，提供真实、准确的医疗信息和身体状况。
   • 用人单位应按时为工伤职工申请劳动能力鉴定，确保工伤职工能够及时享受到相应的工伤待遇。

综上所述，工伤申请决定书下来之后，既可以由用人单位申请工伤鉴定（劳动能力鉴定），也可以由工伤职工或其近亲属在用人单位未按时申请的情况下自行申请。重要的是确保工伤职工能够及时得到劳动能力鉴定，以便享受相应的工伤待遇。