结论：护工在未与护工公司签订合同的情况下，是否可以私自接单，这并非一个简单的“可以”或“不可以”的问题，而是需要根据具体情况和法律规定来综合判断。以下是从不同角度进行的分析：

1. 劳动关系与合同角度：

   • 如果护工与护工公司之间存在事实上的劳动关系，即使没有签订书面合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，双方仍然应当履行相应的权利和义务。在这种情况下，护工私自接单可能构成违反公司规章制度或劳动合同（如果存在事实合同关系）的行为，公司有权依据内部规定或法律规定进行处理。
   • 如果护工与护工公司之间并未形成劳动关系，而是更类似于一种合作关系或独立承包关系，那么护工在接单方面可能拥有更大的自由度。但即便如此，如果双方有口头协议或行业惯例限制私自接单，护工也应遵守。

2. 公司规章制度角度：

   • 护工公司通常会制定一系列规章制度来规范护工的行为，包括接单方式、工作时间、服务质量等。如果护工私自接单违反了这些规章制度，公司有权依据规定对护工进行处罚，甚至解除合作关系。

3. 法律责任角度：

   • 如果护工私自接单导致服务质量下降或引发其他纠纷，护工可能需要承担相应的法律责任。例如，如果因护工的疏忽或故意行为导致患者受伤或财产损失，护工可能需要承担赔偿责任。
   • 另外，如果护工在私自接单过程中涉及欺诈、虚假宣传等违法行为，还可能面临行政处罚或刑事责任。

4. 实际操作建议：

   • 对于护工而言，在未与护工公司签订合同或未明确双方权利义务的情况下，最好先与公司沟通并明确接单规则。如果公司允许私自接单，应确保接单行为符合公司规定和法律法规要求；如果公司不允许，则应遵守公司规定，避免不必要的法律风险。
   • 对于护工公司而言，应尽快与护工签订书面合同，明确双方的权利义务和接单规则。同时，加强公司规章制度的建设和执行力度，确保护工行为符合公司要求和法律法规规定。

总结与进一步思考：护工在未与护工公司签订合同的情况下是否可以私自接单，取决于双方之间的法律关系、公司规章制度以及具体接单行为是否符合法律法规要求。因此，建议护工和护工公司都应加强法律意识，明确双方权利义务，避免不必要的法律风险。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。