结论前置：您进厂三个月未与公司签劳动合同且被违规辞退，有权要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资补偿以及违法辞退的赔偿金。具体计算方式和法律依据如下：
一、未签订书面劳动合同的双倍工资补偿
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条与第八十二条的规定，用人单位应在用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若超过一个月不满一年未订立，则需向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在您工作三个月未签劳动合同的情况下，从第二个月开始至被辞退时，公司应支付双倍工资作为补偿。具体计算方式为：
- 第二个月和第三个月的工资均按双倍计算。这里的“工资”涵盖正常工作时间的所有应得收入，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。
二、违法辞退的赔偿金
违法辞退的情形：
- 若公司无故辞退您且没有合法理由，则属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，公司应依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。
经济补偿标准：
- 经济补偿按您在本单位工作的年限确定：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 因此，对于工作了三个月的您，经济补偿为半个月工资，赔偿金则为一个月工资。计算公式为：赔偿金 = 月工资 × 1（倍）（因为不满六个月，所以经济补偿为半个月工资，赔偿金为经济补偿的两倍，即一个月工资）。
三、维权途径
若与公司就补偿问题无法协商一致，您可通过以下途径维护自身权益：
向劳动监察部门投诉：
- 您可向当地劳动监察部门投诉，由其对用人单位进行调查处理。劳动监察部门有权对公司进行罚款，并要求公司支付您应得的补偿。
申请劳动仲裁：
- 您可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付未签订书面劳动合同的双倍工资及违法辞退的赔偿金。申请时需提供证明劳动关系存在的证据，如工资支付凭证、工作证、考勤记录等。
- 仲裁流程一般包括提交仲裁申请、仲裁庭受理、开庭审理、裁决等步骤。您需按照仲裁委员会的要求准备相关材料，并积极参与仲裁过程。
提起诉讼：
- 若对仲裁结果不服，您还可依法向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需提供充分的证据证明公司的违法行为，并请求法院判决公司支付相应的补偿。
建议：在维权过程中，建议您首先尝试与公司协商解决。若协商无果，再通过法律途径寻求帮助。同时，保留好所有与工作相关的证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以便在需要时提供证明。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。