结论：员工在单位摔伤后回家休息，单位是否负责需根据具体情况判断，主要取决于是否构成工伤以及单位是否依法履行了相关义务。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
构成工伤的情况：
- 根据《工伤保险条例》第十四条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。因此，如果员工是在工作时间、工作场所内，因执行工作任务而摔伤，那么这种情况应当被认定为工伤。
- 一旦构成工伤，员工就有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、停工留薪期工资、护理费等。这些费用通常由工伤保险基金支付，但如果单位未依法缴纳工伤保险费，则由单位承担。
不构成工伤的情况：
- 如果员工摔伤并非因工作原因，或者并非在工作时间、工作场所内发生，那么这种情况可能不被认定为工伤。
- 在不构成工伤的情况下，员工回家休息期间的费用（如医疗费、误工费等）通常不由单位承担，除非单位出于人道主义考虑自愿给予补偿。
二、单位是否依法履行了相关义务
及时救治与报告义务：
- 根据《工伤保险条例》第十七条，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 单位还应及时将员工送往医疗机构救治，并垫付医疗费用。如果单位未履行这些义务，可能需要承担相应的法律责任。
停工留薪期工资支付义务：
- 如果员工被认定为工伤，根据《工伤保险条例》第三十三条，职工因工作遭受事故伤害或者患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内，原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付。
- 因此，在停工留薪期内，单位有义务支付员工工资，确保其基本生活不受影响。
三、实际操作建议
及时申请工伤认定：
- 如果员工摔伤可能构成工伤，单位应尽快向社会保险行政部门提出工伤认定申请，以便员工能够及时享受工伤保险待遇。
与员工沟通协商：
- 在处理此类事件时，单位应与员工保持沟通，了解其伤情和需求，并协商解决方案。如果员工需要回家休息，单位可以与其协商确定休息期限和工资支付等事宜。
寻求法律帮助：
- 如果单位对是否构成工伤、如何支付费用等问题存在疑问，可以寻求专业律师的帮助，以确保处理得当并避免法律风险。
总结：员工在单位摔伤后回家休息，单位是否负责需根据是否构成工伤以及单位是否依法履行了相关义务来判断。如果构成工伤且单位依法履行了义务，那么单位应承担相应的费用；如果不构成工伤或单位未履行义务，则可能需要根据具体情况协商解决或寻求法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。