结论：在您支付了购买宠物的款项但既未签订合同也未收到宠物的情况下，您是有权要求退款的，但具体能否成功退款还需考虑多种因素。以下是从不同角度的详细分析：
一、合同关系与退款权利
合同成立与否：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同的成立需要双方意思表示一致，并通常要求以书面形式（如合同书）或口头形式达成合意。在您的情况下，虽然未签订书面合同，但如果您与卖家之间有明确的购买宠物的意思表示，并且您已经支付了款项，这可以视为双方之间已经形成了事实上的合同关系。
- 然而，由于缺乏书面合同，双方的权利义务可能不够明确，这可能会给退款带来一定的困难。
退款权利：
- 如果合同成立，且卖家未能按照约定交付宠物，您作为买方有权要求卖家履行合同或解除合同并退款。
- 如果合同未成立或被认定为无效（例如，因卖家欺诈、胁迫等手段导致您支付款项），您同样有权要求退款。
二、实际履行情况与退款可能性
卖家行为：
- 如果卖家明确表示无法交付宠物，或者长时间未交付且无法给出合理理由，这通常构成违约行为。在此情况下，您有权要求卖家退款。
- 如果卖家拒绝退款或无法联系到卖家，您可能需要通过法律途径来维护自己的权益。
证据收集：
- 为了支持您的退款请求，您需要收集相关证据，如支付凭证（转账记录、收据等）、与卖家的沟通记录（聊天记录、短信等）以及任何能够证明您与卖家之间存在购买宠物意向的证据。
- 这些证据将有助于您在法律程序中证明自己的权益。
三、法律途径与建议
协商解决：
- 在采取法律行动之前，您可以尝试与卖家进行协商，看是否能够达成退款协议。这通常是最快捷、最经济的解决方式。
法律途径：
- 如果协商无果，您可以考虑向消费者协会投诉或向法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交上述收集的证据来支持自己的主张。
- 法院将根据双方提供的证据和法律规定来判决是否支持您的退款请求。
律师建议：
- 在处理此类纠纷时，建议您咨询专业律师的意见。律师可以根据您的具体情况提供针对性的法律建议，并帮助您制定合适的维权策略。
- 我有丰富的处理合同纠纷和侵权损害案件的经验，如果您需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。
四、特殊情况考虑
- 如果卖家是个人而非商家，且您是通过私下交易的方式支付款项的，那么退款过程可能会更加复杂。在这种情况下，您更需要收集充分的证据来证明自己的权益，并可能需要通过法律途径来追讨款项。
- 如果卖家存在欺诈行为（如虚构宠物信息、收取款项后消失等），您还可以考虑向公安机关报案，以追究卖家的刑事责任。
总结与建议：在您支付了购买宠物的款项但既未签订合同也未收到宠物的情况下，您有权要求退款。为了成功退款，您需要收集相关证据来支持自己的主张，并考虑与卖家协商或采取法律途径来维护自己的权益。如果您需要进一步的法律帮助或建议，请随时向我咨询。