结论：私企在签订劳动合同后，并非可以随意辞退员工，必须遵循相关法律规定和程序，否则可能面临支付经济赔偿金的风险。以下是对此问题的详细分析：

一、可以辞退员工的法定情形

1. 员工存在过错：

   • 在试用期被证明不符合录用条件，例如无法胜任工作任务或不具备招聘岗位要求的相关经验和技能。
   • 严重违反用人单位的规章制度，这些规章制度需明确、合理且已向员工公示，如多次旷工、擅自离岗等。
   • 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害，如收受贿赂、采购高价低质原材料等。
   • 被依法追究刑事责任，即因犯罪行为被人民法院判处刑罚。
   • 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正。
   • 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形（如以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同）致使劳动合同无效。

2. 员工无过错，但因客观情况需要解除劳动合同：

   • 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作。
   • 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作。
   • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且经用人单位与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议。

二、辞退员工的法定程序

私企在辞退员工时，必须遵循以下法定程序：

1. 通知工会：用人单位单方解除劳动合同前，应事先将理由通知工会，并研究工会的意见，将处理结果书面通知工会。
2. 送达解除通知：用人单位应将解除劳动合同的决定以书面形式送达劳动者本人，确保劳动者能够知晓解除劳动合同的事实和理由。送达方式包括直接送达、邮寄送达、公告送达等。

三、违法辞退员工的法律后果

如果私企违反法律规定辞退员工，即属于违法解除劳动合同，那么需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。计算公式为：

\(赔偿金 = 经济补偿 \times 2 = (工作年限 \times 月工资标准) \times 2\)（工作年限不满半年按0.5计算，半年到一年按1计算）

例如，如果员工在公司工作了3年，月工资为5000元，那么违法辞退的赔偿金就是\((3 \times 5000) \times 2 = 30000\)元。

四、劳动者的救济途径

如果有关赔偿事宜无法与单位达成一致意见，劳动者可以在被辞退后一年内申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

建议：作为私企雇主，在辞退员工时务必谨慎操作，确保符合法律法规的规定。在符合法定情形且遵循法定程序的前提下，才能合法地解除劳动合同；否则，将可能面临支付经济赔偿金的风险。如果您在辞退员工方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。