私企在员工合同到期后不能随意辞退员工。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，私企在处理与员工的劳动关系时，必须遵循法定程序和条件，否则可能面临法律责任。以下是对此问题的详细分析：
一、合同到期后的处理规定
续签合同：
- 若员工在用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年，或已连续订立二次固定期限劳动合同，并且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，当员工提出或同意续订劳动合同时，除员工主动要求订立固定期限劳动合同外，应订立无固定期限劳动合同。此时，私企不得随意拒绝续签并辞退员工。
- 女职工在孕期、产期、哺乳期，或患病、非因工负伤且在规定医疗期内，其劳动合同应续延至相应情形消失时终止。
不续签需支付经济补偿：
- 即使不符合续签无固定期限劳动合同的条件，若私企决定不再续签劳动合同，需按员工在本单位工作的年限支付经济补偿金。具体为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、合法的解除劳动合同情形
根据《劳动合同法》第三十九条，私企可在以下情形下合法解除劳动合同：
- 员工试用期间被证明不符合录用条件；
- 员工严重违反用人单位规章制度；
- 员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正；
- 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形导致劳动合同无效；
- 员工被依法追究刑事责任。
若合同到期后，私企想解除劳动合同，但不符合上述合法解除的情形，则不能随意辞退员工。
三、违法解除劳动合同的后果
若私企未按照法定情形解除劳动合同，即构成违法解除劳动关系，需承担以下后果：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，私企应按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准依据员工在单位工作的年限确定，每满一年支付两个月工资的赔偿金。
四、建议与总结
- 沟通与协商：私企在合同到期前应与员工进行沟通，明确双方意愿，并依法履行续签或终止劳动合同的程序。
- 建立健全规章制度：私企应建立健全的规章制度，确保在解除劳动合同时有明确的法律依据，避免不必要的法律纠纷和经济损失。
- 遵守法律法规：私企在处理与员工的劳动关系时，必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保合规操作。
若您作为员工，遇到私企在合同到期后随意辞退的情况，可以依法维护自己的权益，要求私企继续履行劳动合同或者支付经济赔偿金。若您有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，可以直接向我咨询。