针对您遇到的承租户不签合同且不按约定升租的问题，您可以按照以下步骤处理：

1. 核查原租赁合同条款
   首先，您需要仔细审查原租赁合同中关于租金调整的条款。如果合同中明确约定了租金调整的条件、时间、幅度等具体内容，且承租户未按约定履行，那么承租户的行为已构成违约。此时，您可以依据合同条款，通过书面形式（如律师函、催告函）要求承租户履行合同义务，即按约定支付租金。

2. 与承租户协商
   在采取法律手段之前，建议您先尝试与承租户进行友好协商。您可以明确告知承租户其违约行为，并要求其按照原合同约定或双方新的协商结果支付租金。协商过程中，您可以保留书面沟通记录（如微信聊天记录、邮件等），以备后续可能的法律程序使用。

3. 发送书面催告通知
   如果协商无果，您可以向承租户发送书面催告通知，明确要求其在一定期限内（如7天或15天）支付欠付的租金，并告知其逾期不支付的后果（如解除合同、追究违约责任等）。催告通知应通过可留痕的方式发送（如EMS邮寄、电子邮件等），并保留好送达凭证。

4. 考虑解除合同并追究违约责任
   如果承租户在催告期限内仍未支付租金，您可以依据《民法典》的相关规定，行使合同解除权，并要求承租户承担违约责任。具体来说，您可以：

   • 解除合同：通过书面形式通知承租户解除租赁合同，并要求其腾退房屋。
   • 追究违约责任：要求承租户支付欠付的租金、违约金（如合同有约定）以及因违约给您造成的其他损失（如房屋空置期间的租金损失等）。

5. 通过法律途径解决
   如果承租户拒绝履行上述义务，您可以向法院提起诉讼或申请仲裁（如合同中有仲裁条款），要求承租户承担相应的法律责任。在诉讼或仲裁过程中，您需要提供充分的证据证明承租户的违约行为以及您的损失情况。

额外建议：

• 在处理此类纠纷时，建议您保留好所有与承租户的沟通记录、合同文件、租金支付凭证等证据材料。
• 如果您对法律程序不熟悉或担心操作不当，可以随时向我咨询，我会为您提供专业的法律指导和帮助。