结论：行政事业单位公立小学老师到60岁不想延期4个月退休，是否需要写申请，这主要取决于当地的具体政策规定以及您所在学校的具体退休流程。一般来说，如果当地政策或学校规定要求员工在达到退休年龄前或退休时提交退休申请，那么您就需要按照要求写申请。以下是对此问题的详细分析：
一、政策规定角度
国家层面政策：
- 国家对于退休年龄有明确的规定，但对于是否需要提交退休申请，并没有统一的硬性要求。这通常取决于地方政策或单位内部规定。
地方政策：
- 不同地区可能根据当地实际情况，制定了具体的退休流程和要求。有些地方可能要求员工在达到退休年龄前一定时间内提交退休申请，以便单位进行后续的退休手续办理。
二、学校规定角度
学校内部规定：
- 除了地方政策外，您所在的学校也可能有自己的退休流程和规定。这些规定可能包括退休申请的提交时间、方式、所需材料等。
与学校沟通：
- 为了准确了解是否需要写退休申请，以及申请的具体要求和流程，建议您直接与学校的人事部门或相关负责人进行沟通。他们可以提供最准确、最权威的信息。
三、实际操作建议
提前了解政策：
- 在达到退休年龄前，您可以提前了解当地和学校的退休政策，包括是否需要提交退休申请、申请的具体要求和流程等。
准备相关材料：
- 如果需要提交退休申请，您可以提前准备好相关材料，如身份证、工作证、退休申请表等，以便在需要时能够及时提交。
与学校保持沟通：
- 在整个退休过程中，与学校保持密切的沟通是非常重要的。这可以帮助您及时了解退休手续的办理进度，以及解决可能遇到的问题。
四、可能遇到的法律后果
如果未按照要求提交申请：
- 如果当地政策或学校规定要求提交退休申请，而您未按照要求提交，可能会导致退休手续办理延迟或无法办理。这可能会影响您的退休金领取和其他相关权益。
如果政策或规定不明确：
- 如果当地政策或学校规定对于是否需要提交退休申请没有明确规定，那么您可以根据自己的实际情况和意愿来决定是否提交申请。但为了避免不必要的麻烦和纠纷，建议您还是与学校进行沟通并确认相关要求。
最后，我建议您在达到退休年龄前，提前了解并遵守当地和学校的退休政策规定，确保自己的退休手续能够顺利办理。如果您在退休过程中遇到任何法律问题或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。