针对您提出的“劳动合同续签逾期怎么办”的问题，这是一个涉及用人单位和劳动者双方权益的重要法律问题，需要我们从多个角度进行详细分析。
一、用人单位应采取的措施
及时补签合同：
- 一旦发现劳动合同续签逾期，用人单位应立即与劳动者取得联系，协商补签书面劳动合同。补签时，应明确合同的起始日期、工作内容、工作地点、劳动报酬等关键信息，以确保合同的合法性和有效性。
支付双倍工资（如适用）：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，或者劳动合同到期后未及时续签，那么从满一个月的次日起，用人单位需要向劳动者每月支付两倍的工资。因此，如果逾期未续签的情况符合这一规定，用人单位应做好支付双倍工资的准备。
考虑无固定期限劳动合同：
- 如果自建立劳动关系之日起满一年，用人单位仍未与劳动者订立书面劳动合同，那么根据法律规定，将被视为双方已订立无固定期限劳动合同。用人单位应意识到这一点，并据此调整劳动关系管理策略。
终止劳动关系（如不愿继续）：
- 如果用人单位不愿继续与劳动者建立劳动关系，应及时终止事实劳动关系，并根据相关法律法规的规定，向劳动者支付经济补偿。
二、劳动者应采取的措施
主动沟通：
- 劳动者发现劳动合同续签逾期后，应主动与用人单位沟通，提醒其续签劳动合同，并争取尽快签订书面合同，以明确双方的权利和义务。
主张双倍工资：
- 如果用人单位在劳动合同逾期一个月后仍未与劳动者续签书面劳动合同，劳动者可以根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，向用人单位主张自应当订立书面劳动合同之日起至补订书面劳动合同的前一日期间的双倍工资。同时，劳动者应注意收集和保留能够证明劳动关系存在的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。
解除劳动关系并要求经济补偿（如适用）：
- 如果用人单位存在其他违法行为，如拖欠工资、未依法缴纳社会保险等，劳动者可以根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条的规定解除劳动关系，并要求用人单位支付经济补偿。
三、共同注意事项
默认继续履行：
- 如果用人单位与劳动者均同意继续履行原合同约定的内容，且实际也在继续履行（如继续发放工资、缴纳社保等），那么可以视为双方默认按照原合同的约定继续履行。但为了避免潜在的法律风险，建议双方尽快补签书面劳动合同。
法律程序与咨询：
- 在处理逾期未续签劳动合同的问题时，无论是用人单位还是劳动者，都应了解相关法律规定并遵循相应的法律程序。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师或相关机构以获取准确的法律意见和帮助。
综上所述，逾期未续签劳动合同是一个需要谨慎处理的法律问题。用人单位和劳动者应根据具体情况采取相应的法律措施，以确保自身权益得到妥善保护。同时，双方也应加强沟通与合作，共同维护和谐稳定的劳动关系。