当建筑施工未按期完工时，作为业主方（发包方），您可以依据相关法律法规和合同条款，采取一系列措施来维护自己的权益。以下是一个详细且有条理的处理流程：
一、审查合同条款
首先，您需要仔细审查与施工方签订的工程合同，特别是关于工期、延期、违约责任及价款调整等关键条款。这些条款是后续处理问题的法律基础，也是确定双方权利义务的重要依据。如果合同中明确规定了竣工时间、逾期完工的违约责任及赔偿方式，您就可以依据这些条款来主张自己的权利。
二、与施工方沟通协商
了解延误原因：积极与施工方沟通，查明工程未能按时完成的具体原因。这可能是由于不可抗力因素（如自然灾害）、发包方因素（如设计变更、资金不到位）或施工方自身问题（如管理不善、技术难题）等导致的。
协商解决方案：
三、书面催告并保留证据
在确认工程逾期后，您应向施工方发送书面催告函，明确指出工程已逾期，并要求其在合理宽限期内完成工程。同时，务必保留好发函的相关凭证，如邮政快递底单、电子邮件发送记录等，以备不时之需。这一步骤不仅是对施工方的正式提醒，也是后续追究法律责任的重要证据。
四、采取措施减少损失
若工程逾期可能导致您遭受额外损失，如租金损失、生产停滞损失等，您有义务采取合理措施防止损失进一步扩大。例如，对于商业项目，您可以与潜在租户协商调整租赁时间或给予补偿方案，以降低因工程延误带来的经济损失。
五、依法追责
要求支付违约金：如果施工方在宽限期内仍未完成工程，或双方无法就解决方案达成一致，您可以依据合同约定的违约金条款，要求施工方支付相应金额。若违约金不足以弥补实际损失，您还可以进一步主张赔偿实际损失与违约金之间的差额部分。
解除合同：在工程延误情况严重且符合合同解除条件时，您有权解除合同。解除合同后，施工方应返还已收取但未完成工程部分的款项，并赔偿您因此所遭受的损失。
六、法律途径解决争议
如果双方无法通过协商解决纠纷，您可以考虑通过法律途径解决：
申请仲裁：如果合同中约定了仲裁条款，双方可以将争议提交至约定的仲裁机构进行仲裁。仲裁程序相对灵活高效，且仲裁裁决具有终局性，对双方均有约束力。
提起诉讼：如果合同未约定仲裁条款，您可以向有管辖权的人民法院提起民事诉讼。在诉讼过程中，您需要准备充分的证据材料，如合同文本、催告函、协商记录、损失证明等，以支持自己的诉求。
七、全程留证
在整个处理过程中，您应特别注意收集和保留与工程延误相关的各种证据材料，包括但不限于合同文件、施工记录、往来函件、会议纪要、现场照片及视频等。这些证据将在后续的法律程序中起到至关重要的作用，有助于您有力地支持自己的主张并维护自身权益。
综上所述，面对建筑施工未按期完工的问题，您应冷静应对，依法行事，通过审查合同、沟通协商、书面催告、减少损失、依法追责和法律途径解决争议等步骤来维护自己的权益。如果情况复杂或您不确定如何处理，建议及时咨询专业律师以获取法律支持。