针对您提出的“一审要求继续履行劳动合同，但遇到劳动合同到期”的情况，以下是我为您提供的详细分析和应对建议：
一、总体原则与法律基础
首先，无论是用人单位还是劳动者，在处理此类问题时，都应遵循双方协商和遵守法律的原则。根据《劳动合同法》及相关法律法规，劳动合同到期并不意味着劳动关系自动终止，特别是在一审已经判决要求继续履行劳动合同的情况下，双方更应谨慎处理。
二、用人单位的应对策略
评估与决策：
- 用人单位应首先评估自身的生产经营状况、人力资源需求等实际情况，确定是否有必要继续履行与该劳动者的劳动合同。
- 若决定不续签，需考虑一审判决的约束力，以及可能面临的法律责任，如支付经济补偿金或赔偿金等。
沟通与协商：
- 与劳动者进行充分沟通，了解其对于继续履行劳动合同的意愿和期望。
- 说明用人单位的立场和困难，尝试寻求双方都能接受的解决方案，如调整工作内容、期限或待遇等。
遵守法律程序：
- 若决定继续履行劳动合同，应与劳动者重新签订劳动合同或对原合同进行变更，明确新的合同条款。
- 若决定不续签，应依法向劳动者支付经济补偿金，并办理相关离职手续。
三、劳动者的应对策略
了解权益：
- 劳动者应充分了解自己在劳动合同到期后的权益，包括一审判决的约束力、继续履行劳动合同的可能性以及经济补偿金的标准等。
提出要求与协商：
- 若希望继续履行劳动合同，应向用人单位明确提出要求，并附上相关法律依据，如一审判决书等。
- 与用人单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。若协商一致，应确保新的合同条款或变更协议符合法律法规的规定。
法律援助与仲裁：
- 若与用人单位无法达成一致，劳动者可以寻求法律援助或通过劳动仲裁机构进行解决。
- 在仲裁或诉讼过程中，劳动者应提供充分的证据证明自己的权益受到侵害，以及一审判决的约束力。
四、特殊情形的处理
- 法定特殊情形：若劳动者存在法定特殊情形（如患病、孕期、工伤等），用人单位不得随意终止劳动合同，应依法延续劳动关系至相应情形消失。在此情况下，即使劳动合同到期，也应继续履行直至法定情形消失。
- 视为继续履行：根据司法解释，劳动合同期满后，若劳动者仍在原用人单位工作且用人单位未表示异议，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但这一情形并不适用于一审已经判决要求继续履行劳动合同的情况，因为此时双方的权利义务已经由法院明确界定。
五、法律责任与赔偿
- 经济补偿金：若用人单位提出不续签劳动合同或违法解除劳动合同，应依法向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的标准根据劳动者在用人单位的工作年限和月工资等因素确定。
- 赔偿金：若用人单位违反法律规定导致劳动者损失，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。赔偿金的标准根据劳动者的实际损失和用人单位的过错程度等因素确定。
结论与建议
综上所述，当一审要求继续履行劳动合同但遇到劳动合同到期时，双方应充分了解各自权益和法律责任，并通过沟通协商寻求最佳解决方案。在任何情况下，都应遵守法律法规的规定，确保自身行为的合法性。若无法达成一致，可依法通过法律途径维护自身权益。建议双方在此过程中保持冷静和理性，以寻求最有利于双方的解决方案。