结论前置：遇到房租合同丢失且房东不肯退押金的情况，你可以通过以下方式解决：

1. 尝试与房东友好协商

• 说明情况：首先，你可以诚恳地向房东说明合同丢失的情况，表达你并非故意不提供合同，同时强调你一直按时交纳房租、遵守租赁条款，不存在违约行为。例如，你可以说：“房东您好，实在不好意思，我不小心把房租合同弄丢了，但我一直都按时交房租，也没有损坏房屋设施，按照之前的约定，押金应该退还给我，您看能不能通融一下。”
• 提供其他证据：为了增加协商的成功率，你可以提供一些能证明你租赁关系和押金交纳情况的其他证据。比如，你可以提供房租转账记录，这能清晰地显示你每月按时支付房租的情况；如果有与房东沟通租赁事宜的聊天记录、短信等，也可以作为辅助证据，证明你们之间存在租赁关系以及押金的相关约定。

1. 寻求第三方调解

• 居委会或村委会调解：如果与房东协商无果，你可以向房屋所在地的居委会或村委会寻求帮助。这些基层组织具有一定的调解职能，他们可以组织你和房东进行面对面的沟通，了解双方的诉求和争议点，然后根据实际情况进行调解，促使双方达成一个合理的解决方案。
• 租房平台调解（如果是通过平台租房）：如果你是通过租房平台与房东签订的租赁合同，那么可以向该平台反映情况，请求平台介入调解。租房平台通常有完善的投诉处理机制和客服团队，他们会根据平台的规定和相关法律法规，对你们的纠纷进行调查和调解，以维护双方的合法权益。

1. 通过法律途径解决

• 收集证据：在决定通过法律途径解决之前，你需要尽可能收集更多的证据来支持你的主张。除了前面提到的房租转账记录、沟通记录外，你还可以寻找证人，比如邻居、共同居住的朋友等，他们可以证明你实际居住在该房屋内以及房东收取押金的事实。此外，如果你有房屋的钥匙、门禁卡等物品，也可以作为辅助证据。
• 向法院起诉：如果证据充分，你可以向房屋所在地的人民法院提起诉讼。在起诉时，你需要撰写起诉状，明确你的诉讼请求，即要求房东退还押金，并说明事实和理由。法院在受理案件后，会安排开庭审理，根据双方提供的证据和陈述，依法作出判决。如果法院判决房东退还押金，但房东仍然拒绝履行，你可以向法院申请强制执行。

法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第七百三十三条规定，租赁期限届满，承租人应当返还租赁物。返还的租赁物应当符合按照约定或者根据租赁物的性质使用后的状态。在租赁关系中，只要承租人没有违约行为，出租人应当退还押金。因此，你有权要求房东退还押金，如果房东拒绝，你可以通过上述合法途径维护自己的权益。