核心结论：育儿假三年期满未休完，又遇到需要请病假的情况，育儿假通常不能顺延或折抵病假，二者性质不同且一般不能相互替代，不过具体处理方式会因单位规章制度和地方规定而存在差异。以下为你详细分析：

从法律法规的普遍原则角度

1. 育儿假与病假性质不同：育儿假是国家为了鼓励家庭承担育儿责任，给予符合条件的职工在一定期限内照顾幼儿的假期；而病假是职工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，企业应该给予的医疗期。二者在性质、目的和适用条件上都不同，所以一般情况下，育儿假不能因为未休完就顺延到病假期间，也不能用育儿假来折抵病假。
2. 遵循单位规章制度：虽然国家有关于育儿假和病假的规定，但具体到每个单位，可能会有自己的规章制度来进一步细化和规范。如果单位的规章制度中明确规定了育儿假未休完的处理方式，以及病假和育儿假之间的关系，那么应当按照单位的规章制度执行。不过，单位的规章制度不能违反国家法律法规的强制性规定。

从地方规定的差异角度

不同地区对于育儿假和病假的规定可能会有所不同。有些地方可能会出台一些特殊政策，对育儿假未休完的情况进行特殊处理。例如，可能会允许在一定条件下将未休完的育儿假延长一定期限，或者与病假进行一定的衔接。因此，你需要查看所在地区的相关规定，了解是否有针对这种情况的特殊政策。

应对建议

1. 与单位沟通协商：你可以先与单位的人力资源部门或相关负责人进行沟通，说明你的情况，询问单位对于育儿假未休完又遇到病假的处理方式。在沟通时，要保留好相关的沟通记录，如邮件、聊天记录等，以备后续需要。
2. 了解地方政策：通过当地政府部门的官方网站、劳动保障热线等渠道，了解所在地区关于育儿假和病假的具体规定，看是否有对你有利的政策可以适用。
3. 保留证据：如果因为育儿假未休完和病假的问题与单位产生了纠纷，要保留好相关的证据，如请假记录、医疗证明、工资单等，以便在需要时维护自己的合法权益。

如果你在处理这个问题过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，都可以直接向我咨询。