再审程序中是可以增加确认劳动关系这一诉求的，但具体能否得到支持，需结合案件具体情况及法律规定来综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、再审程序的基本性质与目的
再审程序，是针对已经发生法律效力的判决、裁定，发现存在错误时，由法院重新进行审理的程序。其目的在于纠正原审判决、裁定中的错误，确保司法公正。因此，在再审程序中，当事人有权提出新的诉求或理由，以支持其主张。
二、增加确认劳动关系诉求的法律依据
《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定：
- 根据《民事诉讼法》的相关规定，当事人有权在诉讼过程中提出新的诉讼请求或理由。虽然再审程序有其特殊性，但并未排除当事人提出新诉求的权利。
- 具体到确认劳动关系的诉求，如果这一诉求与原审判决、裁定的错误有直接关联，或者是在再审过程中新发现的证据能够支持这一诉求，那么当事人完全有权在再审程序中提出。
劳动法律关系的认定原则：
- 劳动关系的认定，主要依据双方是否存在事实上的劳动关系，如是否签订劳动合同、是否实际提供劳动、是否接受用人单位的管理等。
- 如果再审过程中，当事人能够提供新的证据，证明双方之间存在事实上的劳动关系，那么法院应当依法进行认定。
三、增加确认劳动关系诉求的实践操作
提交新证据：
- 在再审程序中，当事人需要提交新的证据，以支持其增加确认劳动关系的诉求。这些证据可以包括劳动合同、工资单、工作证、考勤记录等。
- 证据的提交应当符合法律规定的程序和要求，确保证据的真实性、合法性和关联性。
法院的审查与认定：
- 法院在收到当事人的再审申请及新证据后，会进行审查。如果认为新证据与确认劳动关系有关，且足以影响原审判决、裁定的结果，那么法院会依法进行再审。
- 在再审过程中，法院会依法对双方是否存在劳动关系进行认定，并根据认定结果作出相应的判决或裁定。
四、可能面临的法律后果
诉求得到支持：
- 如果法院在再审过程中认定双方存在劳动关系，那么当事人的诉求将得到支持。这可能意味着原审判决、裁定被撤销或变更，当事人的权益得到保障。
诉求未得到支持：
- 如果法院认为当事人提交的新证据不足以证明双方存在劳动关系，或者认为原审判决、裁定并无错误，那么当事人的诉求可能不会得到支持。此时，当事人需要接受法院的判决或裁定结果。
五、建议与提醒
及时咨询专业律师：
- 在再审程序中增加确认劳动关系的诉求，涉及复杂的法律问题和证据提交要求。因此，建议当事人在提出再审申请前，及时咨询专业律师的意见和帮助。
充分准备证据：
- 证据是支持诉求的关键。当事人在再审程序中需要充分准备证据，确保证据的真实性、合法性和关联性。同时，要注意证据的提交程序和要求，避免因证据问题导致诉求无法得到支持。
如果你在再审程序中遇到相关问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业、全面的法律建议。