刑事敲诈勒索案件中，当事人提出撤案申请的处理方式需分情况讨论，核心结论如下：

1. 案件处于侦查阶段时，当事人无权直接申请撤案
   根据《刑事诉讼法》第16条，刑事案件的撤案权属于公安机关或检察机关，需满足法定条件（如情节显著轻微、已过追诉时效、犯罪嫌疑人死亡等）。若当事人（包括被害人或犯罪嫌疑人）提出撤案申请，公安机关会依法审查案件证据和事实，若不符合撤案条件，将继续侦查；若符合条件，会制作《撤销案件决定书》并通知相关人员。
   实务建议：若当事人是被害人，可通过提交书面意见说明“双方已和解”“未遭受实际损失”等理由，辅助公安机关判断；若当事人是犯罪嫌疑人或其家属，需重点证明“行为不构成犯罪”或“存在法定撤案情形”，例如提供证据证明双方存在合法债务纠纷、未使用威胁手段等。

2. 案件进入审查起诉或审判阶段后，撤案需通过特定程序

   • 审查起诉阶段：若检察机关认为案件证据不足或存在法定不起诉情形（如犯罪情节轻微、已赔偿谅解等），可作出《不起诉决定书》，此时案件终止；若当事人（尤其是被害人）希望撤案，需向检察机关提交《刑事和解协议》《谅解书》等材料，申请检察机关作出相对不起诉决定。
     
   • 审判阶段：若案件已移送法院，当事人（被害人）需通过“撤回附带民事诉讼”或“出具谅解书”等方式间接影响量刑，但无法直接导致案件撤销。法院会根据犯罪事实、情节及社会危害性依法判决，若认为符合《刑事诉讼法》第16条情形，可裁定终止审理。
     实务建议：在审查起诉阶段，当事人可委托律师与检察机关沟通，提交无罪或罪轻证据（如监控录像、聊天记录等），争取不起诉；在审判阶段，需重点通过辩护策略争取缓刑、轻判或免予刑事处罚。

3. 特殊情形：自诉案件的撤案规则
   若敲诈勒索案件属于“告诉才处理”的自诉案件（如被害人有证据证明的轻微敲诈勒索），被害人可在宣告判决前向法院申请撤诉，法院审查后若认为符合条件，会裁定准许撤诉。
   实务建议：自诉案件中，被害人需在起诉时提交充分证据（如转账记录、威胁录音等），若在诉讼过程中与被告人达成和解，需及时提交书面撤诉申请，避免案件进入实体审理阶段。

总结：刑事敲诈勒索案件的撤案需严格依据法定程序，当事人无权直接决定案件走向，但可通过提交证据、申请刑事和解、委托律师沟通等方式影响公安机关、检察机关或法院的判断。若您或您身边的人涉及此类案件，建议尽快整理相关证据材料，并详细说明案件阶段（如是否立案、是否逮捕、是否移送审查起诉等），以便进一步分析具体操作路径。