核心结论：针对您与私人签订交通事故赔偿委托合同，手续办理中途签合同员工离职的情况，您可以从以下两个方向来处理：一是与原机构沟通，确认合同效力及后续处理方式；二是根据实际情况，选择继续履行合同或解除合同。以下是具体分析：

1. 与原机构沟通，确认合同效力及后续处理方式

   • 合同效力：首先，您需要明确的是，您是与某个机构（如律师事务所、法律服务所等）签订的委托合同，还是与某个个人直接签订的。如果是与机构签订的，那么即使签合同的员工离职了，合同仍然对机构具有约束力，机构应当继续履行合同义务。
   • 后续处理：您可以联系原机构，说明情况，要求机构指派其他员工或律师继续为您处理交通事故赔偿事宜。机构有义务确保合同的顺利履行，不得因员工离职而影响您的权益。

2. 根据实际情况，选择继续履行合同或解除合同

   • 继续履行合同：如果您对原机构的服务满意，且认为其他员工或律师也能够胜任此项工作，那么您可以选择继续履行合同，与原机构协商确定后续的处理方式和费用等事宜。
   • 解除合同：如果您对原机构的服务不满意，或者认为员工离职已经影响了合同的履行，那么您有权解除合同。在解除合同时，您需要注意以下几点：
     • 查看合同条款：首先查看合同中是否有关于解除合同的条款，按照合同约定来操作。
     • 通知对方：如果合同中没有明确约定解除合同的条件和程序，那么您应当书面通知原机构解除合同，并说明解除的理由。
     • 协商赔偿：如果因解除合同给原机构造成了损失，您可能需要与原机构协商赔偿事宜。但需要注意的是，如果原机构存在违约行为导致您解除合同，那么您可能不需要承担赔偿责任。

额外建议：在处理此类情况时，建议您保留好与原机构签订的委托合同、付款凭证、沟通记录等相关证据，以备不时之需。如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，可以随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。