可以开除，但需满足特定条件。保险公司内勤管理层级人员私开公司担任法人，是否可以被开除，需结合具体情况从以下角度分析：

1. 劳动合同或公司规章制度的明确规定
   若劳动合同或公司规章制度中明确规定“员工不得在外兼职或担任其他公司法人，否则视为严重违反公司纪律”，则公司有权依据该条款解除劳动合同。此时需注意：

   • 规章制度需经民主程序制定（如职工代表大会讨论）并公示，否则可能因程序违法被认定无效；
     
   • 解除劳动合同需通知工会（如有），并保留书面证据。

2. 是否构成“严重违反公司纪律”
   即使合同或制度未明确禁止，若私开公司行为导致以下后果，仍可能被认定为“严重违纪”：

   • 利益冲突：如新公司与保险公司存在业务竞争、客户争夺，或利用保险公司资源（如客户信息、商业秘密）为新公司谋利；
     
   • 影响本职工作：因经营新公司导致旷工、工作失误或业绩下滑；
     
   • 损害公司声誉：如新公司从事违法活动或引发负面舆论，波及保险公司形象。

3. 是否违反竞业限制义务
   若该人员属于高管、核心技术人员等《劳动合同法》规定的“负有保密义务的人员”，且与公司签订了竞业限制协议，则私开公司可能同时违反：

   • 竞业限制协议（需按月支付补偿金的前提下，公司可主张违约金）；
     
   • 忠诚义务（即使无协议，员工也需避免利益冲突，否则公司可解除合同并索赔）。

4. 操作建议

   • 公司层面：
     
     1. 核查劳动合同、规章制度是否明确禁止此类行为；
        
     2. 收集证据（如新公司工商登记、业务往来记录、工作影响证明）；
        
     3. 依法履行解除程序（通知工会、送达解除通知）。
        
   • 员工层面：
     若认为开除违法，可申请劳动仲裁，主张赔偿金（需证明公司无合法依据或程序违法）。

总结：私开公司担任法人本身不直接导致开除，但若违反合同、制度、竞业限制或损害公司利益，公司可合法解除劳动合同。具体需结合证据和程序判断，建议双方根据实际情况咨询专业法律意见。