工伤职工在解除劳动合同当天，是可以签署新的劳动合同的，但具体能否签订以及签订的条件和内容需根据实际情况来确定。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、与原用人单位再次签订劳动合同
双方协商一致：
- 若原用人单位有岗位需求，且工伤职工具备相应的工作能力，双方可以基于平等自愿的原则，就工作岗位、工资待遇等重新达成一致，并签订新的劳动合同。这种情况下，解除劳动合同与签订新合同可以在同一天进行，只要双方协商好并履行相关手续即可。
用人单位主动要求恢复劳动关系：
- 在某些特定情况下，如工伤职工因用人单位的违法违规行为而被迫解除劳动合同，后经相关部门认定或法院判决用人单位需恢复劳动关系的，双方应恢复劳动关系并重新签订劳动合同。这种情况下，解除劳动合同与签订新合同也是紧密相连的，可能涉及同一天的操作。
二、与新用人单位签订劳动合同
- 法律不禁止：
- 工伤职工在与原用人单位解除劳动合同后，享有与其他劳动者同等的就业权利。新用人单位在了解工伤职工的工伤情况和劳动能力后，若认为其符合岗位要求，可与工伤职工签订劳动合同。这种情况下，解除劳动合同与签订新合同之间没有时间上的限制，可以在同一天完成。
三、签订时的注意事项
劳动者工伤恢复情况：
- 双方应充分考虑劳动者的工伤恢复情况是否适宜继续工作，以确保劳动者的身体健康和用人单位的生产安全。如果工伤尚未完全恢复，可能需要等待一段时间再签订新合同或调整工作岗位。
合同条款的明确：
- 在签订新的劳动合同时，双方应明确权利义务、工作内容、劳动报酬等重要条款，以避免后续可能出现的纠纷。同时，应确保合同条款符合法律法规的规定，不得侵犯任何一方的合法权益。
避免歧视或不合理条件：
- 用人单位不能因工伤职工曾有工伤经历而对其进行歧视或设置不合理条件。应确保工伤职工享有与其他劳动者同等的待遇和机会，这是法律所要求的，也是构建和谐劳动关系的基石。
四、特殊情况处理
- 若工伤职工因工伤导致劳动能力部分丧失或完全丧失，且在解除劳动合同时有相应的补偿和安置，后续再签劳动合同时可能涉及到工作岗位的调整、劳动报酬的确定等特殊考量。双方应根据实际情况进行协商，并确保合同条款的合理性和公平性。例如，如果工伤职工无法从事原岗位工作，用人单位应提供适合其身体状况的新岗位，并协商确定相应的劳动报酬。
总结与建议：工伤职工在解除劳动合同当天是可以签署新的劳动合同的，但具体能否签订以及签订的条件和内容需根据双方的协商情况、劳动者的工伤恢复情况、用人单位的用工需求以及相关法律法规的规定来确定。在签订新的劳动合同时，双方应遵循平等自愿、协商一致的原则，并明确合同条款以保障双方权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。