结论：出租司机跟公司签订租赁合同，在工作岗位上死亡，是否能认定为公亡（即工伤死亡），需根据具体情况判断，若司机与公司之间构成劳动关系，且符合工伤认定条件，则可以认定为公亡；若不构成劳动关系，则一般不能认定为公亡。以下从不同角度进行分析：
一、劳动关系与劳务关系的区分
劳动关系：
- 定义：劳动关系是指用人单位与劳动者之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。
- 判断标准：通常根据双方是否签订劳动合同、是否接受用人单位的管理、是否从事用人单位安排的工作、是否由用人单位支付工资等要素来判断。
- 法律后果：若构成劳动关系，则劳动者在工作过程中受到的伤害，可能构成工伤，享受工伤保险待遇。
劳务关系：
- 定义：劳务关系是指提供劳务一方为接受劳务一方提供劳务服务，由接受劳务一方按照约定支付报酬而建立的一种民事权利义务关系。
- 判断标准：通常基于双方之间的口头或书面协议，劳务提供者相对独立，不受接受劳务一方的严格管理。
- 法律后果：若构成劳务关系，则劳务提供者在工作过程中受到的伤害，一般不构成工伤，而是按照民事侵权责任进行处理。
二、工伤认定的条件
根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。对于出租司机而言，若其与公司之间构成劳动关系，且在工作过程中因工作原因（如驾驶出租车时发生交通事故）导致死亡，则符合工伤认定的条件，可以认定为公亡。
三、租赁合同与劳动关系的影响
若租赁合同仅为车辆租赁：
- 若司机与公司之间仅签订了车辆租赁合同，司机自行承担运营风险，自行安排工作时间和路线，且公司不对司机进行严格管理，则双方之间可能不构成劳动关系，而是劳务关系或承揽关系。
- 在这种情况下，司机在工作过程中死亡，一般不能认定为公亡。
若租赁合同包含劳动关系要素：
- 若司机与公司之间签订的租赁合同中，包含了公司对司机的工作安排、管理、工资支付等劳动关系要素，则双方之间可能构成劳动关系。
- 在这种情况下，司机在工作过程中死亡，若符合工伤认定条件，则可以认定为公亡。
四、建议与措施
核实合同内容：
- 建议首先核实出租司机与公司之间签订的租赁合同内容，明确双方之间的权利义务关系。
收集证据材料：
- 收集与工作相关的证据材料，如工作记录、工资支付凭证、管理记录等，以证明双方之间是否存在劳动关系。
申请工伤认定：
- 若认为符合工伤认定条件，建议及时向当地社会保险行政部门申请工伤认定，并提供相关证据材料。
寻求法律帮助：
- 若在工伤认定过程中遇到困难或争议，建议寻求专业律师的帮助，以维护自身合法权益。
总结：出租司机跟公司签订租赁合同后在工作岗位上死亡，是否能认定为公亡，需根据双方之间的法律关系以及工伤认定的条件来判断。若构成劳动关系且符合工伤认定条件，则可以认定为公亡；否则，一般不能认定为公亡。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。