在刑事案件的公安阶段，犯罪嫌疑人及其家属可以积极争取以下几个方面的“好处”或权益，以保障案件的公正处理及犯罪嫌疑人的合法权益：

1. 申请取保候审：

   • 法律背景：根据《刑事诉讼法》的相关规定，对于可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的，或者可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的犯罪嫌疑人，可以取保候审。
   • 建议：若犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，应尽快向公安机关提出申请，并提供相应的担保人或缴纳保证金。取保候审可以让犯罪嫌疑人在案件审理期间暂时获得自由，有利于其准备辩护和维持正常生活。

2. 了解涉嫌罪名和案件情况：

   • 法律背景：犯罪嫌疑人有权知道被指控的罪名和案件的基本情况，这是其进行辩护的基础。
   • 建议：在公安阶段，犯罪嫌疑人或其家属应积极与公安机关沟通，了解涉嫌的具体罪名、案件事实、证据情况等，以便为后续的辩护工作做好准备。

3. 申请律师会见：

   • 法律背景：犯罪嫌疑人在被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托律师作为辩护人，并有权会见律师。
   • 建议：尽快委托专业律师，并申请律师会见犯罪嫌疑人。律师会见可以了解犯罪嫌疑人的身体状况、精神状况以及案件的具体情况，为犯罪嫌疑人提供法律咨询和心理支持，同时也可以为后续的辩护工作收集证据和线索。

4. 提出申诉或控告：

   • 法律背景：如果犯罪嫌疑人认为公安机关的侦查行为存在违法或不当之处，如刑讯逼供、超期羁押等，有权向有关部门提出申诉或控告。
   • 建议：若发现公安机关的侦查行为存在违法或不当之处，应及时向检察机关或上级公安机关提出申诉或控告，以维护犯罪嫌疑人的合法权益。

5. 争取从轻或减轻处罚的情节：

   • 法律背景：在刑事案件中，如果犯罪嫌疑人存在自首、立功、认罪认罚等情节，可以从轻或减轻处罚。
   • 建议：在公安阶段，犯罪嫌疑人应积极配合公安机关的侦查工作，如实供述自己的罪行，争取自首、立功等情节。同时，也可以考虑认罪认罚，以争取从宽处理。

在公安阶段，犯罪嫌疑人及其家属应积极行使自己的权利，与公安机关保持沟通，了解案件进展和涉嫌罪名等情况。同时，也应尽快委托专业律师，以便在案件处理过程中获得专业的法律支持和帮助。如果有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。