结论：在检察机关作出的量刑建议被法院支持，但受害人家属不同意并要求抗诉的情况下，受害人家属可以通过向检察机关提出抗诉请求来尝试改变判决结果，但最终是否抗诉由检察机关决定；若检察机关不抗诉，受害人家属还可以通过申诉途径表达诉求，但申诉并不直接启动再审程序。

详细分析：

1. 抗诉的提出与决定权：

   • 根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，抗诉是检察机关对法院判决认为有错误时，依法向上一级法院提出重新审理的请求。
   • 在本案中，受害人家属作为案件的利害关系人，虽然对判决结果不满，但并不直接拥有抗诉权。他们可以向作出判决的检察机关提出抗诉请求，由检察机关审查后决定是否抗诉。
   • 检察机关在审查时，会综合考虑案件事实、证据、法律适用以及量刑是否适当等因素，来决定是否提出抗诉。

2. 若检察机关不抗诉：

   • 如果检察机关认为法院的判决并无不当，或者虽然存在一定问题但不足以构成抗诉理由，那么检察机关将不会提出抗诉。
   • 在这种情况下，受害人家属虽然仍然不满，但无法直接通过抗诉途径改变判决结果。他们可以考虑通过其他合法途径表达诉求，如向相关部门反映情况、寻求媒体关注等（但需注意，这些途径并不直接改变判决结果，而是可能促使相关部门或检察机关重新审视案件）。

3. 申诉途径：

   • 受害人家属还可以选择向法院或检察机关提出申诉，认为判决存在错误或不当。
   • 申诉是公民对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误时，依法向法院或检察机关提出重新审查处理的请求。
   • 但需要注意的是，申诉并不直接启动再审程序，而是需要法院或检察机关审查后认为确有错误，才会决定再审。

4. 法律建议：

   • 对于受害人家属来说，首先应当保持冷静和理性，通过合法途径表达诉求。
   • 可以积极与检察机关沟通，了解他们不抗诉的具体理由，并尝试提供新的证据或理由来支持抗诉请求。
   • 如果申诉途径也未能达到预期结果，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师，以获取更全面的法律建议和帮助。

后续行动建议：

• 受害人家属应尽快与作出判决的检察机关联系，提出抗诉请求，并详细阐述抗诉理由。
• 同时，可以准备相关证据材料，以支持抗诉请求。
• 如果检察机关不抗诉，可以考虑向法院或检察机关提出申诉，并耐心等待审查结果。
• 在整个过程中，保持与律师的沟通，以便及时获取法律建议和帮助。

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