结论：教师在学生摔断门牙的情况下，有责任在第一时间采取合理措施，包括但不限于送医或联系医疗机构，但具体责任需根据实际情况和法律规定综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、教师的法律责任与义务
安全保障义务：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，教育机构（包括学校）对在其场所内接受教育的学生负有安全保障义务。这意味着学校应当采取必要的措施，预防和消除对学生人身安全造成威胁的因素。
- 当学生在学校摔断门牙时，教师作为学校的工作人员，有责任立即采取合理措施，以防止伤害进一步扩大，并确保学生得到及时救治。
紧急救助义务：
- 在学生受伤的情况下，教师有义务提供紧急救助，包括但不限于送医或联系医疗机构。这是教师职业道德和法律责任的一部分，也是保障学生生命健康权的重要体现。
二、具体情境下的责任判断
教师是否在场：
- 如果教师当时在场，且能够立即采取行动，那么教师有责任在第一时间送医或联系医疗机构。
- 如果教师不在场，但得知学生受伤后，应尽快采取行动，包括通知校医、联系家长或直接送医等。
伤害的严重程度：
- 如果学生摔断门牙的情况较为严重，如出血不止、疼痛剧烈等，教师更应迅速采取行动，确保学生得到及时救治。
- 如果伤害相对较轻，教师也应根据学生的具体情况和学校的应急预案，采取合理的救助措施。
学校的应急预案和规定：
- 学校通常会有应对学生受伤的应急预案和规定。教师应熟悉这些预案和规定，并在实际情况下按照预案和规定采取行动。
- 如果学校的应急预案中明确规定了教师在学生受伤时的具体职责和行动步骤，教师应严格遵守。
三、法律后果与责任承担
如果教师未履行救助义务：
- 如果教师因疏忽大意或故意不履行救助义务，导致学生伤害扩大或造成其他严重后果的，教师可能面临法律责任，包括民事赔偿和行政处分等。
- 学校也可能因未尽到安全保障义务而承担相应的法律责任。
如果教师已履行救助义务：
- 如果教师已经采取了合理的救助措施，如及时送医、联系家长等，并尽到了应有的注意义务，那么教师通常不需要承担法律责任。
四、建议与措施
加强教师培训：
- 学校应加强对教师的培训，提高教师对学生受伤等紧急情况的应对能力和法律意识。
完善应急预案：
- 学校应制定和完善应对学生受伤的应急预案和规定，明确教师在不同情况下的具体职责和行动步骤。
加强家校沟通：
- 学校应加强与家长的沟通，及时告知家长学生受伤的情况和救治进展，共同保障学生的生命健康权。
总结来说，教师在学生摔断门牙的情况下，有责任在第一时间采取合理措施，包括但不限于送医或联系医疗机构。具体责任需根据实际情况和法律规定综合判断。如果您或您的孩子在学校受伤，并遇到了相关法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。