关于聘用人员在机关单位工作，被辞退后工龄计算及清退问题，结论如下：
工龄计算问题
- 连续工龄认定：根据《劳动法》及相关规定，工龄计算通常遵循“连续计算”原则。若您在机关单位工作9年后被辞退，随后又被同一或不同机关单位重新聘用5年，关键在于两次聘用之间是否存在劳动关系中断。若两次聘用之间劳动关系完全中断（如领取了经济补偿金、未继续缴纳社保等），则工龄一般分段计算，即前9年与后5年分别计算；若劳动关系未完全中断（如未领取经济补偿金、社保连续缴纳等），则可能视为连续工龄，具体需结合当地政策及单位规定。
- 特殊情形：若您被辞退后，以“非全日制员工”“临时工”等身份被重新聘用，且未签订正式劳动合同，则后5年可能不被认定为连续工龄，具体需根据实际用工形式及当地政策判断。
清退问题
- 清退合法性：机关单位清退聘用人员需符合《劳动合同法》及相关规定。若清退理由合法（如严重违反单位规章制度、不能胜任工作且经培训或调岗后仍不能胜任等），且程序合法（如提前通知、支付经济补偿金等），则清退行为合法。
- 经济补偿金计算：若清退行为合法，您有权获得经济补偿金。经济补偿金计算公式为：经济补偿金=工作年限×月工资（月工资指您在劳动合同解除前12个月的平均工资）。若您后5年工龄被认定为连续工龄，则工作年限为14年；若分段计算，则工作年限为5年。具体计算需结合工龄认定结果。
- 违法清退后果：若清退行为违法（如无合法理由、未提前通知、未支付经济补偿金等），您有权要求单位继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿金的2倍。
建议与行动
- 核实工龄认定：建议您首先向单位人事部门或当地社保部门核实您的工龄认定情况，明确两次聘用之间劳动关系是否中断。
- 收集证据：若您认为清退行为违法，建议收集相关证据（如劳动合同、工资单、辞退通知、单位规章制度等），以便后续维权。
- 协商或诉讼：若与单位协商无果，您可向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，或直接向法院提起诉讼，维护自身合法权益。
总结：工龄计算需结合劳动关系是否中断判断，清退行为需符合法律规定。若您面临清退问题，建议先核实工龄认定，再根据实际情况选择协商或诉讼途径维权。如有进一步疑问，可直接向我咨询。