结论：在租房合同没有明确禁止养宠物的情况下，房东后续要求增加押金的行为是否合法，需视具体情况而定。一般来说，若合同无相关约定，房东单方面增加押金可能缺乏法律依据；但若养宠物行为对房屋造成了实际损害或增加了管理成本，房东可能有一定的合理诉求基础。以下从不同角度详细分析：

一、合同约定优先原则

1. 合同内容：首先，要查看租房合同中是否有关于养宠物和押金的具体条款。如果合同中明确规定了可以养宠物且未提及因此需增加押金，那么房东后续要求增加押金的行为就缺乏合同依据。

2. 合同解释：若合同中未明确提及养宠物和押金的关系，根据合同法的原则，合同双方应按照公平、诚实信用的原则履行合同。房东单方面要求增加押金，可能构成对合同条款的变更，需要得到承租人的同意。

二、房东的合理诉求基础

1. 房屋损害：如果承租人养宠物对房屋造成了实际损害，如抓坏地板、咬坏家具等，房东有权要求承租人承担修复费用或赔偿损失。在这种情况下，房东要求增加押金可能作为一种预防性的措施，以确保承租人能够承担可能的损害赔偿责任。但即便如此，房东也应与承租人协商，并在合同中明确相关条款，而非单方面要求增加押金。

2. 管理成本增加：养宠物可能增加房屋的管理成本，如需要更频繁的清洁、除臭等。如果这种增加的成本是显著的，并且房东能够提供合理的证据来支持这一点，那么房东可能有一定的合理诉求基础来要求承租人承担部分额外费用。然而，这同样需要通过协商并在合同中明确约定来实现。

三、法律建议

1. 协商沟通：面对房东要求增加押金的情况，承租人应首先与房东进行协商沟通，了解房东的具体诉求和理由，并尝试达成一个双方都能接受的解决方案。

2. 审查合同：仔细审查租房合同中的相关条款，特别是关于养宠物和押金的部分。如果合同中没有明确规定或规定不明确，可以引用合同法的相关原则来维护自己的权益。

3. 寻求法律帮助：如果协商无果或房东的行为明显违法，承租人可以寻求法律帮助，如咨询律师或向相关部门投诉。在法律程序中，承租人需要提供充分的证据来支持自己的主张，如合同文本、沟通记录、房屋损害照片等。

四、可能的法律后果

1. 房东败诉：如果房东无法提供充分的证据来支持其要求增加押金的合理性，且合同中没有相关约定，那么房东的要求可能被法院或仲裁机构驳回。

2. 承租人承担责任：如果承租人养宠物确实对房屋造成了损害或增加了管理成本，并且房东能够提供充分的证据来支持这一点，那么承租人可能需要承担相应的赔偿责任或支付额外的费用。但这种情况下的责任承担应基于合同约定或法律规定，而非房东的单方面要求。

总结与启示：在租房过程中，承租人和房东都应明确合同条款，特别是关于养宠物和押金的部分。面对房东要求增加押金的情况，承租人应保持冷静，通过协商沟通来解决问题。如果协商无果或房东的行为违法，承租人可以寻求法律帮助来维护自己的权益。同时，这也提醒我们在签订租房合同时要仔细阅读合同条款，确保自己的权益得到充分保障。如果你还有其他关于房产租赁或合同纠纷的问题，欢迎直接向我咨询。