结论：商家是否对卖狗后不到一周狗生病的情况负责，需根据具体情况判断，主要涉及商家是否履行了质量保证义务、是否存在欺诈行为以及是否符合法定或约定的免责条件等因素。以下从不同角度进行分析：
一、商家是否履行质量保证义务
法定质量保证：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关消费者权益保护法规，商家在销售商品时，应当保证商品符合质量标准，不存在瑕疵。对于宠物销售，商家通常需确保宠物在销售时健康无病，或至少在销售时已明确告知买家宠物的健康状况。
- 若商家在销售时未对狗的健康状况进行充分检测或隐瞒了已知的健康问题，导致买家在购买后不久狗即生病，商家可能因未履行质量保证义务而需承担责任。
约定质量保证：
- 如果商家与买家在购买合同中明确约定了质量保证条款，如“保证狗在购买后一定期限内健康无病”，则商家需按照约定履行。若狗在约定期限内生病，商家可能需根据合同约定承担相应责任。
二、商家是否存在欺诈行为
- 若商家在销售过程中故意隐瞒狗的健康问题，或通过虚假宣传误导买家购买，构成欺诈行为。根据《中华人民共和国消费者权益保护法》，买家有权要求商家承担退货、换货、赔偿损失等责任。
三、法定或约定的免责条件
法定免责：
- 若狗生病是由于买家自身原因（如饲养不当、未按时接种疫苗等）导致，且商家在销售时已明确告知买家相关饲养注意事项，商家可能因无过错而免责。
约定免责：
- 如果商家与买家在购买合同中明确约定了免责条款，如“因买家饲养不当导致狗生病的，商家不承担责任”，则商家可能根据合同约定免责。但需注意，免责条款需合法合理，且商家需在销售时以显著方式提示买家注意。
四、实际操作建议
收集证据：
- 买家应收集购买合同、检测报告、狗生病的相关证据（如医疗记录、照片等），以证明商家可能存在的责任。
与商家协商：
- 在收集到足够证据后，买家可与商家协商解决，要求商家承担相应责任。
寻求法律救济：
- 若协商无果，买家可向消费者协会投诉或向法院提起诉讼，要求商家承担法律责任。
进一步思考：在购买宠物时，买家应要求商家提供详细的健康检测报告和饲养指南，并在购买合同中明确约定质量保证条款和免责条款。同时，买家也应了解基本的宠物饲养知识，确保能够正确饲养宠物，避免因自身原因导致宠物生病。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。