核心结论：若狗狗生病商家在14天质保期内不予售后，您可以通过以下途径解决：

1. 与商家再次协商
   • 明确质保条款：仔细查看购买狗狗时与商家签订的合同或者商家公示的质保条款，确认狗狗生病是否属于质保范围。有些商家可能会在条款中对质保范围进行详细限定，比如只保障某些特定疾病或者因特定原因导致的生病情况。如果狗狗生病的情况符合质保条款规定，您可以有理有据地与商家沟通，要求其履行售后责任。
   • 提供证据：收集狗狗生病的相关证据，如兽医的诊断证明、治疗费用发票等。这些证据可以证明狗狗确实在质保期内生病且需要治疗，增加与商家协商的成功率。在协商过程中，要保持冷静和理性，以解决问题为导向，避免情绪化的争吵。
2. 向消费者协会投诉
   • 投诉条件：如果与商家协商无果，您可以向当地的消费者协会投诉。消费者协会是依法成立的对商品和服务进行社会监督的保护消费者合法权益的社会组织。只要您认为商家的行为侵犯了您的合法权益，就可以向其投诉。
   • 投诉流程：您可以通过拨打12315热线或者登录当地消费者协会的官方网站进行投诉。在投诉时，要详细说明事情的经过，包括购买狗狗的时间、地点、质保条款内容、狗狗生病的情况以及与商家协商的过程等，并提供相关证据。消费者协会会在收到投诉后进行调查，并根据调查结果协调商家解决问题。
3. 向市场监督管理部门举报
   • 举报情形：如果商家存在欺诈、虚假宣传等违法行为，您可以向市场监督管理部门举报。例如，商家在销售狗狗时承诺14天质保，但实际上却以各种理由拒绝履行质保责任，这种行为可能构成欺诈。
   • 举报方式：您可以拨打12345市民服务热线或者到当地市场监督管理部门的办公地点进行举报。举报时，要提供商家的具体信息、违法事实和相关证据。市场监督管理部门会对商家的违法行为进行查处，并维护您的合法权益。
4. 通过法律途径解决
   • 起诉条件：如果以上方法都无法解决问题，您可以考虑向法院提起诉讼。诉讼是一种较为正式和严肃的解决纠纷的方式，需要有充分的证据证明商家的违约行为以及您因此遭受的损失。
   • 诉讼流程：您可以委托律师起草起诉状，并向有管辖权的法院提交。法院在受理案件后，会安排开庭审理。在庭审过程中，您需要提供证据证明自己的主张，商家也会进行答辩和举证。法院会根据双方提供的证据和法律规定作出判决。如果判决商家承担售后责任，商家拒不履行的，您可以向法院申请强制执行。