赠品如果是三无产品，消费者确实有权进行索赔。以下是对此问题的详细分析：
一、三无产品的定义与法律后果
“三无产品”通常指的是无生产日期、无质量合格证以及无生产厂家，来路不明的产品。根据《中华人民共和国产品质量法》的相关规定，产品或者其包装上的标识必须真实，并包含产品质量检验合格证明、中文标明的产品名称、生产厂厂名和厂址等信息。如果赠品属于三无产品，那么它显然违反了这一法律规定。
二、消费者的索赔权利
基于消费者权益保护法的索赔：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买、使用商品时，其合法权益受到损害的，有权要求经营者进行赔偿。虽然赠品看似是“免费”的，但实际上其成本往往已经包含在商品的价格中，或者作为促销手段的一部分，因此消费者对于赠品同样享有合法权益。
- 如果赠品是三无产品，且因此给消费者造成了损害（如使用赠品导致身体受伤、财产损失等），消费者有权要求经营者进行赔偿。赔偿范围通常包括因赠品问题导致的直接经济损失，如医疗费、财产修复费等。
基于合同法的索赔（如存在相关约定）：
- 如果经营者在促销活动中明确承诺了赠品的品质或标准，但实际提供的赠品却是三无产品，那么经营者就构成了违约。在这种情况下，消费者也有权根据合同法的相关规定要求经营者承担违约责任，包括赔偿损失等。
三、索赔的具体操作与建议
收集证据：
- 消费者在索赔前，应尽可能收集与赠品问题相关的证据，如赠品的照片、购买凭证、使用说明、与经营者的沟通记录等。这些证据将有助于证明赠品的品质问题以及消费者因此遭受的损失。
与经营者协商：
- 在收集到足够证据后，消费者可以尝试与经营者进行协商，要求经营者进行赔偿或更换合格的赠品。如果经营者同意协商并解决问题，那么这将是最快捷、最经济的解决方式。
寻求法律途径：
- 如果经营者拒绝协商或协商无果，消费者可以向消费者协会、市场监管部门等机构投诉，或者通过法律途径提起诉讼，要求经营者承担赔偿责任。在诉讼过程中，消费者需要提供充分的证据来证明自己的主张。
四、特殊情况下的索赔
- 如果赠品是食品且属于三无产品，那么根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者销售者要求支付价款十倍的赔偿金。这一规定体现了对食品安全的严格监管和对消费者权益的充分保护。
行动建议：如果您遇到了赠品是三无产品的情况，并且因此遭受了损失，建议您首先收集相关证据，然后与经营者进行协商。如果协商无果，您可以向相关部门投诉或寻求法律途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。