打零工的和工厂之间的关系是否构成劳动关系，这主要取决于双方是否满足劳动关系的构成要件。以下从多个角度进行分析：

1. 劳动关系的构成要件：

   • 主体资格：劳动者和用人单位（工厂）需具备相应的主体资格。劳动者需达到法定劳动年龄，具有劳动能力；用人单位则需是依法成立的企业、个体经济组织等。
   • 从属关系：劳动者需在用人单位的管理、指挥和监督下从事有报酬的劳动。这通常体现在劳动者需遵守用人单位的规章制度，按照用人单位的要求完成工作任务。
   • 劳动性质：劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。这意味着劳动者的劳动成果直接归属于用人单位，并成为用人单位生产经营活动的一部分。

2. 打零工与工厂关系的具体分析：

   • 如果打零工者满足上述构成要件：即他们接受工厂的管理、指挥和监督，按照工厂的要求完成工作任务，且其劳动是工厂业务的组成部分，那么他们与工厂之间就构成了劳动关系。在这种情况下，打零工者享有劳动法规定的各项权益，如最低工资标准、工作时间和休息休假、社会保险等。
   • 如果打零工者不满足上述构成要件：例如，他们只是偶尔为工厂提供劳务，不受工厂的管理和指挥，且其劳务不是工厂业务的组成部分，那么他们与工厂之间可能不构成劳动关系，而更可能构成劳务关系或承揽关系。在这种情况下，打零工者的权益可能不受劳动法的保护，而是依据民法等相关法律规定来处理。

3. 实务中的判断：

   • 在实务中，判断打零工者与工厂之间是否构成劳动关系，需要综合考虑多种因素，如双方签订的合同性质、实际履行情况、工资支付方式、工作管理方式等。
   • 如果双方签订了书面劳动合同，且合同中明确约定了双方的权利和义务，那么判断劳动关系相对容易。但如果双方没有签订书面合同，或者合同内容不明确，那么就需要根据实际履行情况来判断。

4. 法律建议：

   • 对于打零工者来说，为了保障自己的权益，最好与工厂签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
   • 如果无法签订书面合同，那么打零工者应该保留好与工厂之间的交易记录、工资支付凭证等证据，以便在发生纠纷时维护自己的权益。
   • 对于工厂来说，为了规范用工管理，避免劳动纠纷，也应该与打零工者签订书面劳动合同，并按照劳动法的规定履行各项义务。

总结来说，打零工的和工厂之间的关系是否构成劳动关系，需要根据双方是否满足劳动关系的构成要件来判断。如果满足，则构成劳动关系；如果不满足，则可能构成其他关系。在实际操作中，建议双方签订书面合同以明确权利义务，避免纠纷的发生。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。