服刑人员趁看病期间合伙逃跑属于严重的违法犯罪行为，司法机关会依法采取一系列措施进行追捕、惩处，并追究相关责任人的责任。具体分析如下：

1. 逃跑行为的性质与法律后果
   服刑人员在服刑期间逃跑，构成“脱逃罪”。根据《中华人民共和国刑法》第三百一十六条，依法被关押的罪犯、被告人、犯罪嫌疑人脱逃的，处五年以下有期徒刑或者拘役。若逃跑过程中伴随暴力、威胁等行为，可能构成更严重的犯罪（如暴动越狱罪、劫夺被押解人员罪等），刑罚将更重。
   若逃跑人员为累犯或存在其他从重情节，法院会依法从重处罚。

2. 司法机关的追捕措施

   • 立即启动追捕程序：监狱或看守所发现服刑人员逃跑后，会第一时间向公安机关报案，并通报可能逃往的地区。
     
   • 发布通缉令：公安机关会通过全国在逃人员信息系统发布通缉令，协调铁路、民航、边检等部门协助查控。
     
   • 技术追踪与布控：利用监控、通讯记录、人脸识别等技术手段锁定逃跑人员位置，并在交通枢纽、边境等重点区域设卡拦截。
     

3. 对协助逃跑者的处罚

   • 同案犯的共犯责任：若其他服刑人员或外部人员参与策划、协助逃跑（如提供工具、资金、藏匿处等），均构成脱逃罪的共犯，依法追究刑事责任。
     
   • 监管失职人员的责任：若监狱、医院等单位的工作人员因疏于管理导致逃跑发生，可能构成“失职致使在押人员脱逃罪”（《刑法》第四百条），处三年以下有期徒刑或者拘役；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑。
     

4. 逃跑后的法律程序

   • 抓捕归案后：逃跑人员会被重新羁押，原刑期因脱逃期间不计入执行（即“刑期不中断”），且脱逃行为可能作为量刑情节加重处罚。
     
   • 自首的认定：若逃跑人员主动投案并如实供述，可依法从轻或减轻处罚；若在逃跑期间又犯新罪，则需数罪并罚。
     

建议：若您是服刑人员家属或相关单位，发现逃跑情况应立即报警，切勿包庇或协助逃匿，否则将面临法律严惩。若您需要进一步了解脱逃罪的辩护要点或监管合规问题，可直接向我咨询。