结论：在原配妻子不同意的情况下，死去的丈夫和私生子能否做亲子鉴定，需视具体情况而定，主要取决于是否能够获取到合适的生物样本以及是否存在法律上的障碍。

分析说明：

1. 生物样本的获取：

   • 已故丈夫的生物样本：若要进行亲子鉴定，首先需要获取到已故丈夫的生物样本，如血液、毛发、骨骼等。这通常需要在合法且尊重遗体的前提下进行，可能需要得到其直系亲属（如配偶、子女、父母）的同意，或者通过法律程序（如法院命令）来获取。
   • 私生子的生物样本：私生子的生物样本相对容易获取，通常可以通过其本人或其法定监护人（如母亲）的同意来采集。

2. 法律障碍：

   • 配偶的同意权：虽然原配妻子作为已故丈夫的配偶，在一般情况下对丈夫的遗体处理有一定的发言权，但这并不意味着她可以单方面阻止亲子鉴定的进行。特别是在涉及遗产继承、身份确认等法律问题时，亲子鉴定可能成为解决争议的关键证据。
   • 法律程序：如果原配妻子坚决反对亲子鉴定，且无法通过协商达成一致，那么可能需要通过法律程序来解决。例如，私生子或其法定监护人可以向法院提起诉讼，请求法院裁定进行亲子鉴定。法院在审理此类案件时，会综合考虑各种因素，包括但不限于亲子鉴定的必要性、对各方当事人的影响以及公共利益等。

3. 实际操作中的考虑：

   • 尊重遗愿与家庭和谐：在实际操作中，除了考虑法律因素外，还应尊重已故丈夫的遗愿（如果有的话）以及家庭和谐。如果亲子鉴定的结果可能对家庭关系造成严重破坏，且没有其他迫切的法律需求，那么可能需要谨慎考虑是否进行鉴定。
   • 隐私保护：在进行亲子鉴定时，应严格保护各方当事人的隐私权。未经允许，不得泄露鉴定结果或相关个人信息。

特殊场景：

• 如果已故丈夫在生前已经留下了明确的遗嘱或声明，表明他愿意或不愿意进行亲子鉴定，那么这将成为决定是否进行鉴定的重要因素。
• 如果私生子或其法定监护人能够提供充分的证据表明亲子鉴定的必要性（如涉及遗产继承、身份确认等），那么法院可能会更倾向于支持进行鉴定。

行动建议：

• 如果您面临这样的情况，建议首先尝试与原配妻子进行协商，寻求达成一致意见。
• 如果协商无果，且您认为亲子鉴定对于解决争议至关重要，那么可以考虑通过法律程序来寻求解决方案。在此过程中，请务必咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到充分保护。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。