核心结论：母亲和继父没有办理结婚证的情况下，若需要证明双方存在共同生活、经济往来等类似婚姻关系的事实，可通过撰写《同居关系证明》或《事实关系说明》等文件，并附上相关证据材料来佐证。以下从不同角度详细说明：

1. 证明文件的内容要点

• 双方基本信息：需明确写明母亲和继父的姓名、身份证号、住址等基本信息，确保身份清晰可查。
• 同居事实描述：详细说明两人开始共同生活的时间、地点、方式（如是否以夫妻名义共同生活），以及共同生活期间的日常状态（如共同承担家务、抚养子女等）。
• 经济往来情况：若存在共同财产（如共同购置的房产、车辆）、共同债务（如为家庭生活所负债务），或一方对另一方的经济支持（如生活费、医疗费等），需详细列明并附上相关凭证（如转账记录、购物发票等）。
• 社会关系认可：可提及邻居、亲友等第三方对两人关系的认知和评价，例如“邻居均认为两人为夫妻关系”等，以增强证明的可信度。
• 声明与签字：文件末尾需由母亲和继父双方签字确认，并注明签字日期。若可能，可邀请无利害关系的第三方（如邻居、居委会工作人员）作为见证人签字。

2. 证明文件的法律效力与注意事项

• 法律效力有限：此类证明文件属于民事证据的一种，其法律效力取决于内容真实性和证据链的完整性。在法律上，未办理结婚登记的同居关系不受《婚姻法》保护，但相关证明可用于解决同居期间的财产分割、子女抚养等纠纷。
• 证据收集是关键：为增强证明力，需尽可能收集客观证据（如共同生活的照片、视频、水电费缴费记录、银行流水等）和证人证言（如邻居、亲友的书面陈述或出庭作证）。
• 避免使用“婚姻”表述：在证明文件中，应避免使用“夫妻”“结婚”等法律术语，以免引发误解或被认定为虚假陈述。可表述为“双方以共同生活为目的同居”或“双方存在事实上的同居关系”。

3. 特殊情况处理

• 涉及子女抚养：若需证明继父与继子女之间的抚养关系（如继父实际抚养继子女多年），可在证明文件中单独列明抚养事实，并附上子女出生证明、学校记录、医疗记录等证据。
• 涉及财产分割：若同居期间购置了共同财产，建议通过协商签订《财产分割协议》并公证，或通过法院诉讼解决，以避免后续纠纷。

4. 建议与风险提示

• 优先协商解决：若母亲和继父关系融洽，建议通过协商明确双方权利义务，并签订书面协议（如《同居期间财产协议》），以减少未来纠纷。
• 咨询专业律师：若涉及复杂财产或子女问题，建议直接向我咨询，我可根据具体情况提供定制化法律方案，确保权益最大化。

总结：母亲和继父未办理结婚证时，可通过撰写《同居关系证明》并附上相关证据来证明双方关系。但需注意，此类证明法律效力有限，建议结合客观证据和协商协议使用。如有进一步疑问，欢迎随时向我提问！