结论：针对员工在外面做兼职被发现后自动离职，随后以未签劳动合同为由提出仲裁的情况，公司需要从多个角度进行应对，包括核实兼职情况、确认离职性质、准备未签劳动合同的证据以及应对仲裁的策略。

详细分析：

1. 核实兼职情况：

   • 公司应首先核实员工是否确实存在兼职行为，以及该行为是否违反了公司的规章制度或劳动合同中的相关条款。如果兼职行为并未违反公司规定或合同条款，那么公司以此为由要求员工离职可能缺乏法律依据。

2. 确认离职性质：

   • 员工是“自动离职”还是被公司辞退，这一点至关重要。如果员工是主动离职，且离职原因并非公司违法或违约行为，那么员工后续以未签劳动合同为由提出仲裁，其主张可能难以得到支持。但如果员工是被公司以兼职为由辞退，且公司无法证明兼职行为违反了公司规定或合同条款，那么公司的辞退行为可能构成违法解除劳动合同。

3. 准备未签劳动合同的证据：

   • 公司应准备相关证据证明与员工之间是否签订了劳动合同。如果确实未签劳动合同，公司需要评估这一事实对仲裁结果的可能影响。根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，如果公司确实未与员工签订劳动合同，那么员工有权要求公司支付未签劳动合同期间的双倍工资。

4. 应对仲裁的策略：

   • 积极应诉：公司应积极参与仲裁程序，提交相关证据和答辩意见，以维护自身合法权益。
   • 寻求和解：在仲裁过程中，公司也可以考虑与员工进行和解，通过协商达成一致意见，以避免仲裁结果对公司不利。
   • 准备后续法律行动：如果仲裁结果对公司不利，公司还可以考虑向人民法院提起诉讼，以维护自身权益。

额外建议：

• 完善公司规章制度：公司应完善相关规章制度，明确兼职行为的处理方式和离职程序，以避免类似纠纷的再次发生。
• 加强劳动合同管理：公司应加强与员工的劳动合同管理，确保及时与员工签订书面劳动合同，并妥善保管相关证据。
• 寻求专业法律帮助：在处理此类纠纷时，公司可以寻求专业律师的帮助，以确保自身权益得到充分保护。

可能面临的法律后果：

• 如果公司确实未与员工签订劳动合同，且无法证明员工兼职行为违反了公司规定或合同条款，那么公司可能需要支付员工未签劳动合同期间的双倍工资，并可能面临违法解除劳动合同的赔偿责任。

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