结论：为单位办事回家途中自己摔伤，是否由单位负责需根据具体情况判断，一般而言，若不符合工伤认定条件，单位不承担赔偿责任；但若存在特殊情况，如单位存在过错等，则可能需承担相应责任。
详细分析：
工伤认定的一般条件：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤通常指的是在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者工作时间前后在工作场所内，从事与工作有关的预备性或者收尾性工作受到事故伤害等情形。
- 在您描述的情况中，“为单位办事回家途中”并不直接等同于“工作时间和工作场所内”，且“自己摔伤”也未明确说明是否因工作原因导致。因此，一般情况下，这种情形可能不符合工伤认定的直接条件。
特殊情况下的责任承担：
- 单位过错：如果单位在安排您办事的过程中存在过错，比如未提供必要的交通工具、未确保路途安全等，且这种过错与您的摔伤有直接因果关系，那么单位可能需要承担一定的赔偿责任。
- 视为工伤的特殊情形：根据《工伤保险条例》第十五条的规定，某些特殊情形下，如职工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡等，可能被视为工伤。但您描述的情况并不直接符合这些特殊情形的规定。不过，如果摔伤与工作有紧密关联，且符合其他相关条件，也有可能被认定为工伤，这需要具体案件具体分析。
非工伤情况下的处理：
- 如果您的摔伤不符合工伤认定的条件，且单位不存在过错，那么一般情况下，单位不承担赔偿责任。此时，您可能需要通过医疗保险、个人储蓄或其他途径来承担医疗费用等损失。
建议与行动：
- 及时报告与申请工伤认定：如果您认为自己的摔伤可能与工作有关，且符合工伤认定的条件，建议及时向单位报告，并按照单位的要求或相关法律法规的规定，申请工伤认定。
- 收集证据：在申请工伤认定或寻求其他赔偿途径时，收集相关证据是非常重要的。这包括但不限于医疗记录、事故现场照片、证人证言等，这些证据将有助于证明您的摔伤与工作有关或单位存在过错。
- 咨询专业律师：由于工伤认定和赔偿问题涉及复杂的法律法规和程序，如果您对此有疑问或需要进一步的帮助，建议咨询专业律师。我可以根据您的具体情况，提供更详细和专业的法律建议。
可能法律后果：
- 如果您的摔伤被认定为工伤，您将有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴等。
- 如果您的摔伤不符合工伤认定的条件，且单位不存在过错，您可能需要自行承担医疗费用等损失。但如果您能证明单位存在过错，且这种过错与您的摔伤有直接因果关系，那么您可能有权要求单位承担相应的赔偿责任。