结论前置：工厂的劳务派遣不签合同是违法的，这一行为严重侵害了劳动者的合法权益，劳务派遣单位和用工单位都可能因此承担法律责任。
一、劳务派遣单位与被派遣劳动者的法律关系
合同签订要求：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位作为用人单位，必须与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同。合同中需明确载明被派遣劳动者的用工单位、派遣期限、工作岗位等关键信息。
法律责任：
- 若劳务派遣单位未与被派遣劳动者签订书面劳动合同，将违反法律规定。具体来说，若自用工之日起超过一个月不满一年未签订合同的，劳务派遣单位需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿；若自用工之日起满一年仍未签订合同的，则视为已订立无固定期限劳动合同。
二、劳务派遣单位与用工单位的法律关系
协议签订要求：
- 依据《中华人民共和国劳动合同法》第五十九条，劳务派遣单位在派遣劳动者时，必须与用工单位订立劳务派遣协议。该协议应明确约定派遣岗位、人员数量、派遣期限、劳动报酬、社会保险费的数额与支付方式以及违反协议的责任等内容。
双方责任：
- 如果劳务派遣单位和用工单位未签订劳务派遣协议，或协议内容不符合法律规定，均构成违法行为。双方需及时补签或修改协议，以确保劳动者的合法权益得到保障，并规范劳务派遣关系。用工单位还有义务督促劳务派遣单位与劳动者签订劳动合同。
三、实际案例与法律后果
- 在实际案例中，若工厂作为用工单位，使用了未与劳务派遣单位签订劳动合同的劳动者，一旦发生劳动纠纷，工厂和劳务派遣单位都可能面临法律责任。例如，劳动者可能要求支付未签订劳动合同的双倍工资差额，或者要求确认与劳务派遣单位存在无固定期限劳动合同关系等。
四、应对建议
对于劳务派遣单位：
- 必须严格遵守法律规定，与被派遣劳动者签订书面劳动合同，并按时支付劳动报酬。
- 与用工单位签订规范的劳务派遣协议，明确各方权利义务。
对于用工单位（如工厂）：
- 在选择劳务派遣单位时，应审查其资质和信誉，确保其合法合规经营。
- 有义务督促劳务派遣单位与劳动者签订劳动合同，并确保协议内容的合法性。
- 在使用劳务派遣劳动者时，应遵守相关法律法规，保障劳动者的合法权益。
对于劳动者：
- 如遇劳务派遣单位不签合同或违法用工的情况，应及时向相关部门投诉举报，如劳动保障监察部门或劳动争议仲裁委员会等。
- 保留好相关证据，如工作记录、薪资发放记录、沟通记录等，以便在维权时提供有力支持。
综上所述，工厂的劳务派遣不签合同是违法的，各方主体都应增强法律意识，遵守法律法规，共同构建和谐稳定的劳动关系。如果您在劳动工伤或合同纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。