结论：在您描述的情况下，即使未签订劳动合同，作为在私人学校工作了十几年的厨师，被老板辞退时仍可能享有一定的补偿权益。具体补偿情况需根据实际工作年限、是否构成事实劳动关系以及辞退原因等因素综合判断。

分析说明：

1. 事实劳动关系的认定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要劳动者与用人单位之间存在事实上的劳动关系，劳动者就享有相应的劳动权益。
   • 在您的情况下，由于您在私人学校工作了十几年，且一直从事厨师工作，这足以证明您与学校之间存在事实劳动关系。

2. 未签订劳动合同的补偿：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 虽然您已工作十几年，但此条款主要针对的是用工初期未签订劳动合同的情况。不过，它表明了法律对未签订劳动合同行为的否定态度，并提供了相应的补偿机制。对于长期未签订劳动合同的情况，虽然不再直接适用双倍工资的规定，但劳动者仍可主张其他权益。

3. 辞退补偿：

   • 如果辞退是基于合法原因（如劳动者严重违反规章制度、不能胜任工作等），且用人单位已履行了相应的程序（如提前通知、支付经济补偿等），则劳动者可能无法获得额外补偿。
   • 如果辞退是无故或违法的，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：“经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。”因此，您有权要求学校支付相应的经济补偿。

4. 特殊情况下的补偿：

   • 考虑到您已65岁，可能已达到或超过法定退休年龄。如果此时被辞退，且您已享受养老保险待遇或领取退休金，则您与学校之间的劳动关系可能终止，此时可能不涉及经济补偿问题。但如果您未享受养老保险待遇或领取退休金，且辞退是无故或违法的，您仍可主张经济补偿。

行动建议：

1. 收集证据：收集能够证明您与学校之间存在事实劳动关系的证据，如工作证、工资条、同事证言等。
2. 协商解决：尝试与学校进行协商，看是否能够达成一致的补偿方案。
3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求学校支付相应的经济补偿。
4. 寻求法律援助：在仲裁或诉讼过程中，如果您需要专业的法律帮助，可以向我咨询或寻求其他法律专业人士的协助。

后续思考：在处理此类劳动纠纷时，关键在于证明事实劳动关系的存在以及辞退的违法性或无故性。因此，收集充分的证据是至关重要的。同时，了解并熟悉相关的法律法规也是维护自身权益的基础。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。