结论：公司能否因员工私人吵架而开除员工，需根据具体情况判断，主要取决于公司的规章制度、员工吵架行为的性质与后果，以及公司处理程序的合法性。若员工吵架行为严重违反公司合法制定的规章制度，且公司遵循法定程序开除员工，则通常被认为是合法的；反之，若吵架行为未达严重违纪程度或公司处理程序不合法，则开除决定可能面临法律风险。
一、公司的规章制度
规章制度的合法性：
- 公司必须确保规章制度是依法制定并公示的，例如经过民主程序制定、向员工公示等。若规章制度本身存在违法或未经合法程序制定，则不能作为开除员工的依据。
规章制度的内容：
- 若规章制度中明确将员工之间严重的吵架、扰乱工作秩序等行为列为严重违纪情形，且员工吵架行为确实符合这些描述，则公司有权依据规章制度开除员工。
二、员工吵架行为的性质与后果
严重性评估：
- 吵架行为是否严重到足以构成违纪，需根据具体情况评估。例如，在办公区域内大声争吵、相互辱骂且严重影响正常工作秩序的行为，更可能被认定为严重违纪。而轻微的口角或短暂争执，若未对工作造成实质性影响，则不宜直接作为开除理由。
特殊情节考虑：
- 若吵架过程中涉及种族、性别、宗教等歧视性言论，或对他人进行严重威胁、暴力等违法行为，即使公司规章制度未明确规定，公司基于维护正常工作环境和合法权益考虑，也有权开除员工。
三、公司处理程序的合法性
通知与调查：
- 公司应首先对吵架事件进行调查，收集相关证据，并确保调查过程的公正性。
陈述与申辩机会：
- 在作出开除决定前，公司应给予员工陈述和申辩的机会，以确保决定的公正性和合理性。
书面通知与经济补偿：
- 开除决定应以书面形式通知员工，并说明开除的理由和依据。若开除决定被认定为违法，公司可能需支付经济补偿或赔偿金。
四、赔偿问题
合法开除无需赔偿：
- 若员工吵架行为被认定为严重违反公司规章制度，且公司开除程序合法，则公司无需支付任何赔偿。
违法开除需赔偿：
- 若员工吵架行为未达到严重违纪程度，或公司开除程序不合法，则公司可能需要支付经济补偿或赔偿金。具体金额根据员工在本单位工作的年限和月工资标准计算，计算公式为：经济补偿金=工作年限×月工资。若工作年限超过12年，则按12年计算；月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
五、实际建议
公司角度：在处理员工吵架问题时，公司应谨慎行事，确保处理过程公正、合法。首先，要检查公司规章制度是否完善且合法有效；其次，要对吵架行为进行客观评估，判断是否达到严重程度；最后，要确保开除程序的合法性，并给予员工合理的申辩机会。同时，公司也应加强员工培训和内部管理，预防类似事件的发生。
员工角度：员工应遵守公司规章制度，避免不当行为给自己和公司带来不必要的麻烦。若面临公司的不当开除决定，员工有权通过劳动仲裁等法律途径维护自身权益。
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