公司只支持半个月病假是否合理，不能一概而论，需结合医疗期规定、病假的真实性和合理性以及公司规章制度进行综合判断。以下是对此问题的详细分析：

1. 医疗期规定

   • 根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，会根据其实际参加工作年限和在本单位工作年限，享有不同长度的医疗期。医疗期从三个月到二十四个月不等。
   • 若员工在医疗期内，且能提供合法有效的病假证明（如正规医院出具的诊断证明、病历、病假单等），那么公司只支持半个月病假可能就不合理，因为员工有权享受更长的医疗期。例如，对于工作年限5年以上10年以下且实际工作年限10年以上的员工，享有9个月的医疗期，在此期间内每月休半个月病假通常是合法的，但若医疗期更长，则公司限制半个月就不合理。
   • 若员工已超出医疗期，公司根据实际情况只支持半个月病假，可能是合理的，但这也需要看公司规章制度以及病假的真实性和合理性。

2. 病假的真实性和合理性

   • 真实性：员工申请病假时，必须提供真实有效的病假证明。若员工提供的病假证明是伪造的或虚假的，那么公司有权拒绝其病假申请，甚至可能对其进行纪律处分。
   • 合理性：即便员工提供了真实的病假证明，也需考虑病假的合理性。例如，某些疾病根据医学常识和治疗周期并不需要长期或频繁的休假。若员工每月都休半个月病假，但疾病性质并不支持如此长时间的休假，公司有权要求员工进行复查以确定病假的合理性，并可能根据公司规章制度调整病假时长。

3. 公司规章制度

   • 公司有权根据自身情况制定关于病假的规章制度，只要这些规章制度不违反法律法规的强制性规定，即为有效。
   • 员工在享受病假权利的同时，也必须遵守公司的规章制度。若公司规定了病假申请的流程、期限限制等，员工需按规定执行。若员工未经审批或违反公司规定每月休半个月病假，则其行为可能构成违纪，公司可依据规章制度进行处理。

总结与建议：

• 对于员工而言，应如实提供病假证明，合理行使病假权利，并遵守公司的规章制度。
• 对于公司而言，应完善病假管理制度，明确病假申请流程、期限限制及违规处理措施；加强对员工病假证明的审核力度，确保病假证明的真实性和有效性；对于频繁或长期休病假的员工，及时进行复查和沟通，以了解其病情及治疗情况，确保病假的合理性。

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