农民工完全有权申请劳动仲裁。这一结论基于以下法律背景和实际情况分析：

一、法律依据与劳动关系认定

根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》和《中华人民共和国劳动法》的相关规定，劳动者享有提请劳动争议处理的权利，这一权利并不依赖于是否签订了书面劳动合同。劳动和社会保障部《关于确立劳动关系有关事项的通知》也明确指出，即使未订立书面劳动合同，但只要满足以下条件，劳动关系仍然成立：

1. 用人单位和劳动者均符合法律、法规规定的主体资格；
2. 劳动者受用人单位的劳动管理，从事其安排的有报酬的劳动；
3. 劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分。

对于农民工而言，他们通常受雇于用人单位，从事用人单位安排的工作，并接受用人单位的管理和支付报酬，因此完全符合上述劳动关系的认定标准。

二、证明劳动关系的材料

为了申请劳动仲裁，农民工需要收集能够证明事实劳动关系的材料。这些材料包括但不限于：

1. 工资支付凭证或记录：如银行转账记录、工资条等，这些记录能够显示用人单位的名称、支付时间和金额，是证明劳动关系的重要证据；
2. 工作证件：如工作证、服务证等，这些证件上通常印有劳动者的姓名、照片及用人单位的名称，能够直接证明劳动者与用人单位的关系；
3. 考勤记录：包括纸质或电子考勤，这些记录能够证明劳动者的出勤情况，反映劳动者与用人单位之间的实际工作关系；
4. 同事证言：同事的口头或书面证言，可以辅助证明劳动者与用人单位之间的劳动关系；
5. 工作文件资料：如代表用人单位签订的合同、业务邮件、工作任务安排等，这些文件资料能够证明劳动者在用人单位的工作内容和职责。

三、申请劳动仲裁的条件与流程

申请条件：农民工只需证明存在事实劳动关系，即可申请劳动仲裁，无需额外的特别要求。

申请流程：

1. 提交仲裁申请：在劳动争议发生之日起一年内（若因拖欠劳动报酬发生争议，则不受一年时效限制），向劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请书，载明双方基本信息、仲裁请求、事实和理由等，并携带相关证据材料；
2. 审查受理：仲裁委员会在收到申请后五日内决定是否受理，并通知申请人。若不予受理，需说明理由；
3. 仲裁准备：立案后七日内组成仲裁庭，并在开庭五日前书面通知双方当事人开庭日期和地点；
4. 开庭审理：当事人明确请求、答辩、调查事实、举证质证、辩论、陈述。仲裁庭进行调解，若调解成功，制作调解书；若调解不成，及时作出裁决；
5. 执行：若用人单位不履行生效裁决书所确定的内容，农民工可申请法院强制执行。

四、注意事项与建议

• 在申请仲裁前，农民工应仔细收集和整理所有能证明劳动关系和自身主张的证据材料，确保材料的真实性和完整性；
• 确保仲裁申请书内容完整、准确，并按照要求提供副本。若书写仲裁申请有困难，可口头申请，由仲裁委员会记入笔录；
• 注意仲裁时效，确保在规定时间内提出申请，以免丧失维权机会；
• 在申请过程中，农民工应积极配合仲裁委员会的工作，如实陈述事实，提供证据，以便仲裁委员会能够准确、公正地作出裁决。

综上所述，农民工即使没有签订书面劳动合同，只要能够证明存在事实劳动关系，就可以依法申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请过程中，农民工应仔细准备相关证据和材料，并遵循正确的申请流程。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。