关于业务外包单位员工受伤后申请工伤认定的主体问题，我们可以明确以下几点：

1. 核心结论：业务外包单位员工受伤时，申请工伤认定的主体通常是该外包单位的员工或其近亲属，以及外包单位本身。外包单位作为员工的实际用工单位，有责任协助员工完成工伤认定的申请流程。

2. 法律依据：根据《工伤保险条例》的相关规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。对于外包单位的员工来说，这一规定同样适用。

3. 申请流程：

   • 员工或其近亲属申请：员工或其近亲属可以在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起1年内，直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 外包单位责任：外包单位应当积极配合员工或其近亲属的工伤认定申请，提供必要的证明材料和协助。如果外包单位未按规定时间提出工伤认定申请，员工或其近亲属仍可在规定时间内自行申请。

4. 注意事项：

   • 外包单位在员工受伤后应及时了解事故情况，并协助员工完成工伤认定的申请工作。
   • 员工或其近亲属在申请工伤认定时，应提供尽可能详细的证明材料和事故经过说明。
   • 如果工伤认定申请被驳回或存在争议，员工或其近亲属以及外包单位可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。

综上所述，业务外包单位员工受伤后，申请工伤认定的主体主要是员工或其近亲属以及外包单位本身。外包单位有责任协助员工完成工伤认定的申请流程，并提供必要的证明材料和协助。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。